De Afgeleide Functie

Introductie Afgeleide

De afgeleide van een functie geeft je op elk \(x\)-coördinaat de bijbehorende richtingscoëfficient.* De functie geeft dan dus niet meer het \(y\)-coördinaat als je \(x\) invult, maar de helling van de grafiek op dat punt. Laten we naar een paar verschillende functies kijken.

* Richtingscoëfficient is een ander woord voor helling.

Parabool

Een parabool heeft in het simpleste geval de vorm

\[f(x) = x^2.\]

Straks zullen we zien dat de afgeleide van deze functie is:

\[f'(x) = 2x.\]

\(f'(x)\) geeft hier dus aan dat het gaat om de afgeleide van de functie \(f(x)\). Er zijn veel verschillende manieren om afgeleides weer te geven. Bij de opmerking over de notatie zie je de meest gebruikte notaties.

In het onderstaande filmpje kun je zien dat de afgeleide gelijk is aan de helling op elk punt.

Video

Filmpje: Visuele weergave van de afgeleide van de functie \(f(x) = x^2\). Bij de top is de helling gelijk aan \(0\).

In het filmpje kunnen we iets interessants zien. Bij de top van de functie kunnen we zien dat de helling \(0\) is. Dit betekent dus ook dat de afgeleide gelijk is \(0\). En dit blijkt altijd het geval te zijn voor alle toppen. Dus als we de coördinaten van een top willen bepalen, moeten we de afgeleide gelijk stellen aan \(0\):

\[f'(x) = 0.\]

Als we deze vergelijking dus oplossen, vinden we het \(x\)-coördinaat van de top. En als we deze \(x\)-waarde in \(f(x)\) stoppen, krijgen we ook het \(y\)-coördinaat. Bij Extreme waardes bepalen kijken we hier meer uitgebreid naar.

Exponentiële functie

Een exponentiële functie heeft de vorm

\[f(x) = e^x.\]

Deze \(e\) is het getal van euler. Het is een constante met de volgende waarde: \(e = 2.7182818...\)

Het bijzondere van dit getal is dat de afgeleide van \(e^x\) ook \(e^x\) is. De afgeleide van deze functie is gewoon weer zichzelf.

\[f(x) = f'(x) = e^x\]

In het onderstaande filmpje kunnen we goed zien hoe dit eruit ziet.

Video

Filmpje: Visuele weergave van de afgeleide van de functie \(f(x) = e^x\). Er is te zien dat op elk punt geldt dat \(f(x) = f'(x)\). Dit is wat de e-macht zo bijzonder maakt.

De helling op elk punt is dus hetzelfde als het \(y\)-coördinaat op dat punt. De functie blijft dus maar steeds sneller stijgen als \(y\) toeneemt. Als iets op deze manier steeds sneller blijft toenemen, noemen we dat exponentieel.

Afgeleides Bepalen

Om een afgeleide te bepalen, kunnen we de onderstaande tabel gebruiken. Daarin staan de meest voorkomende afgeleides van verschillende functies. En hier vind je de regels voor functies die bestaan uit andere kleinere functies.

Belangrijk

Tabel met veel voorkomende functies

Functie	Afgeleide
\(\large{f(x) = a}\)	\(\large{f'(x) = 0}\)
\(\large{f(x) = ax}\)	\(\large{f'(x) = a}\)
\(\large{f(x) = ax^n}\)	\(\large{f'(x) = n \cdot ax^{n-1}}\)
\(\large{f(x) = e^x}\)	\(\large{f'(x) = e^x}\)
\(\large{f(x) = a^x}\)	\(\large{f'(x) = a^x \cdot \ln(a)}\)
\(\large{f(x) = \ln(x)}\)	\(\large{f'(x) = \Large \frac{1}{x}}\)
\(\large{f(x) = \, ^a \! \log(x)}\)	\(\large{f'(x) = \Large \frac{1}{x \ \cdot \ \ln(a)}}\)
\(\large{f(x) = \sin(x)}\)	\(\large{f'(x) = \cos(x)}\)
\(\large{f(x) = \cos(x)}\)	\(\large{f'(x) = -\sin(x)}\)

waarbij \(n\) en \(a\) constantes zijn. Dus gewoon getallen die niet afhankelijk zijn van \(x\).

Regels

	Functie	Afgeleide
Somregel	\(\large{f(x) = g(x) + h(x)}\)	\(\large{f'(x) = g'(x) + h'(x)}\)
Productregel	\(\large{f(x) = g(x) \cdot h(x)}\)	\(\large{f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)}\)
Quotiëntregel	\(\large{f(x) = \Large \frac{g(x)}{h(x)}}\)	\(\large f'(x) = \Large \frac{g'(x) \ \cdot \ h(x) \ - \ g(x) \ \cdot \ h'(x)}{h(x)^2}\)
Kettingregel	\(\large{f(x) = f(u(x))}\)	\(\large f'(x) = \Large \frac{\mathrm{d} \textit{f} }{\mathrm{d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\)

De quotiëntregel kan je onthouden met het ezelsbruggetje: "nat - tan gedeeld door n kwadraat".

Hier staat "n" voor noemer, "t" voor teller en "a" voor afgeleide.

Opmerking Notatie

Notatie

Een afgeleide kan op verschillende manieren worden weergegeven:

\(\large{f'(x)}\)
\(\large{\dfrac{d f{\left(x \right)}}{d x}}\)
\(\large{\dfrac{d}{d x} f{\left(x \right)}}\)

\(\large{y'}\)
\(\large{\dfrac{d y}{d x}}\)
\(\large{\dfrac{d}{d x} y}\)

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken de afgeleide van \(f(x) = x^2\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = x^2\)

Uitwerking

We kunnen dit oplossen met behulp van de derde rij van de tabel. We zien dat een functie van de vorm:

\[\large{f(x) = ax^n}\]

deze afgeleide heeft:

\[\large{f'(x) = n \cdot ax^{n-1}}.\]

In ons geval is \(a\) gelijk aan \(1\) (namelijk \(x^2 = 1x^2\)) en de macht \(n\) is gelijk aan \(2\). Onze afgeleide wordt dan dus:

\[\large{f'(x) = 2 \cdot x^{2-1}}\]

\[\large{f'(x) = 2x^{1}}\]

Iets tot de macht \(1\) is gewoon zichzelf, dus ons eindantwoord wordt dan:

\[\large{f'(x) = 2x}\]

Voorbeeld 2: Bereken de afgeleide van \(f(x) = 4x\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = 4x\)

Uitwerking

Dit kunnen we oplossen met de tweede rij van de tabel. Dus voor de functie:

\[\large{f(x) = ax}\]

is de afgeleide:

\[\large{f'(x) = a}.\]

We hebben hier een \(4\) voor de \(x\) staan, dus dat is onze \(a\). Onze afgeleide wordt dan dus gewoon:

\[\large{f'(x) = 4}\]

Voorbeeld 3: Bereken de afgeleide van \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)

Uitwerking

Om dit op te lossen moeten we eerst deze breuk anders schrijven. In de sectie Machten in het Algemeen zien we dat we dit kunnen schrijven als:

\[\large{f(x) = x^{-1}}\]

En nu is dit in de standaardvorm \(ax^n\), waarbij we hier hebben dat \(a = 1\) en \(n=-1\). De afgeleide krijgt de standaardvorm \(n \cdot ax^{n-1}\). Dus in ons geval krijgen we dan:

\[\large{f'(x) = -1 \cdot x^{-1-1}}\]

\[\large{f'(x) = - x^{-2}}\]

Als we dit weer opschrijven als breuk, dan vinden we als eindantwoord:

\[\large{f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}}\]

Voorbeeld 4: Bereken de afgeleide van \(f(x) = 6\sqrt{x}\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = 6\sqrt{x}\)

Uitwerking

Om dit op te lossen moeten we eerst de wortel als macht opschrijven. In de sectie Machten in het Algemeen zien we dat we een wortel ook kunnen schrijven als breuk:

\[\large{f(x) = 6x^{\frac{1}{2}}}\]

Nu zien we dat dit een functie is van de vorm \(ax^n\), waarbij wij nu hebben \(a=6\) en \(n=\frac{1}{2}\). De afgeleide van deze vorm wordt \(n \cdot ax^{n-1}\), dus in ons geval wordt dat:

\[\large{f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 6x^{\frac{1}{2}-1}}\]

\[\large{f'(x) = 3x^{-\frac{1}{2}}}\]

We kunnen de '\(-\)' in de exponent vervangen door \(1\) gedeeld door:

\[\large{f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}\]

En nu kunnen we van de \(\frac{1}{2}\) in de exponent weer een wortel maken:

\[\large{f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}}\]

Voorbeeld 5: Bereken de afgeleide van \(f(x) = 3x^2 + 2x + 6\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = 3x^2 + 2x + 6\)

Uitwerking

We hebben hier eigenlijk een som van verschillende kleine functies. We willen dus de afgeleide bepalen van de hele functie, maar hoe doen we dat?

Met de somregel kunnen we zien dat we dan de afgeleides van de losse termen moeten nemen.

Laten we eerst kijken naar de eerste term, \(3x^2\). We zien dat dit de vorm heeft van \(ax^n\) waarbij er hier geldt dat \(a = 3\) en \(n = 2\). In de tabel zien we dat de afgeleide de vorm heeft van \(n \cdot ax^{n-1}\). In ons geval is de afgeleide van deze term dus:

\[\large{2 \cdot 3x^{2-1}}\]

\[\large{6x^1,}\]

en iets tot de macht \(1\) is zichzelf, dus dit wordt:

\[\large{6x.}\]

Nu kijken we naar de tweede term, \(2x\). We zien dat dit de vorm heeft van \(ax\), waarbij onze \(a\) hier \(2\) is. Bij de afgeleide van zo'n functie valt alleen de \(x\) weg, dus de afgeleide is gewoon \(2\) (tweede rij van de tabel).

En als laatst bepalen we de afgeleide van de derde term, \(6\). Dit is een constante (denk: gewoon een getal zonder \(x\)) en de afgeleide van een constante is altijd \(0\) (eerste rij tabel).

Als we dit allemaal samenvoegen, dan vinden we:

\[\large{f'(x) = 6x + 2 + 0}\]

Ons eindantwoord wordt dus:

\[\large{f'(x) = 6x + 2}\]

Voorbeeld 6: Bereken de afgeleide van \(f(x) = 5x^3 + 3x^2 - 15x + 100\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = 5x^3 + 3x^2 - 15x + 100\)

Uitwerking

De somregel vertelt ons dat we hier de afgeleides van de losse termen gewoon bij elkaar op kunnen tellen. De afgeleide wordt dan:

\[\large{f'(x) = 3 \cdot 5x^{3-1} + 2 \cdot 3x^{2-1} - 15 + 0}\]

We hebben hier de eerste drie regels uit de tabel gebruikt:

Voor de \(5x^3\) en de \(3x^2\) term hebben we regel \(3\) gebruikt.
De \(-15x\) term wordt gewoon \(-15\) volgens regel \(2\).
De \(+100\) term wordt \(0\) volgens regel \(1\).

(zie eventueel het vorige voorbeeld voor meer details over de aanpak)

We kunnen dit dan verder versimpelen naar:

\[\large{f'(x) = 15x^2 + 6x^1 - 15}\]

Iets tot de macht \(1\) is zichzelf, dus \(x^1\) wordt gewoon \(x\):

\[\large{f'(x) = 15x^2 + 6x - 15}\]

Voorbeeld 7: Bereken de afgeleide van \(f(x) = \dfrac{10}{x^4} + 3\sqrt[3]{x^2}\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = \dfrac{1}{x^4} + \sqrt[3]{x^2}\)

Uitwerking

Dit zijn twee termen plus elkaar, dus met de somregel weten we dat we de afgeleides van de losse termen kunnen op tellen.

Om de afgeleides te bepalen, willen we dit eerst schrijven met machten in plaats van breuken en wortels. In Machten in het Algemeen zien we dat \(1\) gedeeld door een \(-\) in de exponent wordt:

\[\large{\dfrac{10}{x^4} = 10 \cdot \dfrac{1}{x^4} = 10x^{-4}}\]

Ook zien we dat we de breuk kunnen vervangen door een breuk in de exponent:

\[\large{3\sqrt[3]{x^2} = 3x^{\frac{2}{3}}}\]

Onze functie wordt dan dus:

\[\large{f(x) = 10x^{-4} + 3x^{\frac{2}{3}}}\]

Deze functies zijn allebei nu in de vorm \(ax^n\) met als afgeleide \(n \cdot ax^{n-1}\). We krijgen dan dus:

\[\large{f'(x) = 4 \cdot 10x^{-4-1} + \frac{2}{3} \cdot 3x^{\frac{2}{3}} - 1}\]

Als we dit versimpelen, vinden we:

\[\large{f'(x) = 40x^{-5} + 2x^{-\frac{1}{3}}}\]

Als we de '\(-\)' weer vervangen door \(1\) gedeeld door:

\[\large{f'(x) = 40 \cdot \dfrac{1}{x^5} + 2 \cdot x^{\frac{1}{3}}}\]

We kunnen nu de \(\frac{1}{3}\) in de exponent vervangen door een derdemachtswortel:

\[\large{f'(x) = \dfrac{40}{x^5} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}}\]

Voorbeeld 8: Bereken de afgeleide van \(f(x) = 3(\cos(x) + 2)\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = 3(\cos(x) + 2)\)

Uitwerking

Eerst werken we de haakjes uit. Als we dit doen, vinden we:

\[\large{f(x) = 3\cos(x) + 6.}\]

De somregel zegt dat we hier de afgeleide kunnen nemen van de aparte termen:

De afgeleide van \(\cos(x)\) kunnen we vinden in de tabel. Dit is \(-\sin(x)\).
De afgeleide van de \(+6\) term is \(0\) (eerste rij tabel).

Bij een afgeleide blijven de constantes keer de functie gewoon ervoor. Dus die kunnen we gewoon lekker laten staan en hoeven we dus niks mee te doen. De afgeleide wordt dus:

\[\large{g'(x) = 3 \cdot - \sin(x) + 0}\]

Waarbij we dus de factor \(3\) er gewoon voor mogen laten.

Ons eindantwoord wordt dus:

\[\large{f'(x) = -3 \sin(x)}\]

Voorbeeld 9: Bereken de afgeleide van \(f(x) = xe^x\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = xe^x\)

Uitwerking

Hier zien we dat onze functie \(f(x)\) bestaat uit twee functies keer elkaar. We noemen ze even \(g(x)\) en \(h(x):\)

\[\large{g(x) = x}\]

en

\[\large{h(x) = e^x}\]

Het zijn twee functies keer elkaar, dus gebruiken we de productregel. Deze zegt dat:

\[\large{f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)}\]

Laten we eerst de afgeleides van \(g(x)\) en \(h(x)\) bepalen.

We zien dat \(g(x) = x\) de vorm heeft van \(ax\), waarbij onze \(a = 1\) (namelijk \(x = 1x\)). De afgeleide van deze vorm is gewoon het getal dat voor de \(x\) staat, dus:

\[\large{g'(x) = 1.}\]

De afgeleide van \(e^x\) kunnen we bepalen met de tabel. We zien dat de afgeleide van \(e^x\) zichzelf is, dus ook \(e^x:\)

\[\large{h'(x) = e^x = h(x).}\]

Als we dit invullen in de productregel, vinden we dus:

\[\large{f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x}\]

\[\large{f'(x) = e^x + xe^x}\]

We kunnen hier eventueel nog de \(e^x\) buiten haakjes halen:

\[\large{f'(x) = e^x \left(1 + x\right)}\]

Voorbeeld 10: Bereken de afgeleide van \(f(x) = \tan(x)\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = \tan(x)\)

Uitwerking

Om dit op te lossen moeten we eerst de \(\tan\) schrijven in termen van \(\sin\) en \(\cos\). In het hoofdstuk Goniometrie zien we een tangens ook kunnen schrijven als:

\[\large{\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\]

Dit zijn twee functies gedeeld door elkaar, dus kunnen we de quotiëntregel toepassen. Deze zegt dat voor een functie van de vorm:

\[\large{f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}}\]

de afgeleide gelijk is aan:

\[\large{f'(x) = \frac{g'(x) \ \cdot \ h(x) \ - \ g(x) \ \cdot \ h'(x)}{h(x)^2}}.\]

In ons geval geldt er dat:

\[\large{g(x) = \sin(x)}\]

en

\[\large{h(x) = \cos(x)}\]

De afgeleides van deze twee functies kunnen we vinden in de tabel:

\[\large{g'(x) = \cos(x)}\]

en

\[\large{h'(x) = - \sin(x)}\]

Nu vullen we dat in bij de quotiëntregel:

\[\large{f'(x) = \frac{\cos(x) \ \cdot \ \cos(x) \ - \ \sin(x) \ \cdot \ - \sin(x)}{\cos^2(x)}}\]

Dit kunnen we versimplen tot:

\[\large{f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}}\]

We kunnen in dit geval de teller nog verder versimpelen. In het hoofdstuk Goniometrie zien we dat \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Ons eindantwoord wordt dan dus:

\[\large{f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}}\]

Voorbeeld 11: Bereken de afgeleide van \(f(x) = e^{x^2}\)

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = e^{x^2}\)

Uitwerking

We hebben hier een functie in een functie, dus we moeten de kettingregel gebruiken. We noemen de binnenste functie even \(u(x)\):

\[\large{u(x) = x^2}\]

We kunnen \(f(x)\) dan schrijven als functie van \(u\):

\[\large{f(u) = e^{u}}\]

De kettingregel vertelt ons dat \(f'(x)\) de afgeleide van \(f\) naar \(u\) keer de afgeleide van \(u\) naar \(x\) is:

\[\large{f'(x) = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}\]

Laten we eerst de afgeleide van \(f\) naar \(u\) bepalen:

\[\large{\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u} = e^{u},}\]

want de afgeleide van een e-macht is gewoon zichzelf (zie eventueel de tabel). Nu bepalen we de afgeleide van \(u\) naar \(x\):

\[\large{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 2x,}\]

(zie voorbeeld 1 voor eventuele toelichting). Nu kunnen we de kettingregel toepassen:

\[\large{f'(x) = e^{u} \cdot 2x}\]

Nu kunnen we \(u\) weer terug substitueren (denk: \(u\) schrijven in termen van \(x\)):

\[\large{f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}}\]

Voorbeeld 12: Bereken de afgeleide van \(f(x) = \ln{\left((x+1)^2 \right)} \cdot \sqrt{x} + 5\)

* Lastige opdracht

Bereken de afgeleide van de functie \(f(x) = \ln{\left((x+1)^2 \right)} \cdot \sqrt{x} + 5\)
Uitwerking

Bij een lastige opdracht is het belangrijk om echt stap voor stap te werken. Deze functie is een combinatie van een aantal andere functies. We herkennen hier de volgende functies:

\(\large{\boxed{u(x) = \left(x + 1\right)^2}}\)
\(\large{\boxed{g(u) = \ln(u)}}\)
\(\large{\boxed{h(x) = \sqrt{x}}}\)

De vergelijking wordt dan:

\[\large{f(x) = g(u) \cdot h(x) + 5}\]

Als we dingen optellen, mogen we de afgeleides nemen van de losse termen ([somregel][#regels]). De afgeleide van de \(+5\) term is gewoon \(0\), want \(5\) is een constante. Die term voegt dus niks toe aan onze afgeleide.

We moeten nu dus de afgeleide bepalen van \(g(u) \cdot h(x)\). Dit zijn twee functies keer elkaar, dus gebruiken we de productregel:

\[\large{\boxed{f'(x) = \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} \cdot h(x) + g(u) \cdot \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x}}}\]

(Zie eventueel de notatie van afgeleides). Laten we beginnen met \(\large{\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x}}\) bepalen:

We kunnen \(\sqrt{x}\) ook schrijven als \(x^{\frac{1}{2}}\) (zie eventueel Machten in het Algemeen). Dus:

\[\large{h(x) = x^{\frac{1}{2}}}\]

We zien dat dit een functie van de vorm \(ax^n\) is, met \(a=1\) en \(n=\frac{1}{2}\). De afgeleide wordt dan dus:

\[\large{\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1}}\]

\[\large{\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}\]

En dit kunnen we ook schrijven als:

\[\large{\boxed{\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}}}\]

Oké, dat was de afgeleide van de eerste functie! Nu moeten we \(\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}}\) bepalen. \(g\) bestaat uit de functie \(u\) en die bestaat weer uit \(x\). Dit zijn meerdere functies in elkaar, dus moeten we de kettingregel gebruiken:

\[\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}\]

Laten we beginnen met \(\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} u}}\) bepalen. We hebben:

\[\large{g(u) = \ln(u).}\]

In de tabel zien we dat de afgeleide van \(\ln(x)\) is \(\frac{1}{x}\). Dus:

\[\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} u} = \frac{1}{u}}\]

Nu bepalen we \(\large{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}\). We hebben:

\[\large{u(x) = \left(x + 1 \right)^2}\]

Dit is ook weer een functie in een functie! Dus moeten weer de kettingregel gebruiken. We hebben namelijk de functie \(\large{k(x) = x + 1}\). We krijgen dan dus dat \(u\) is:

\[\large{u(k) = k^2}\]

De afgeleide van \(u\) wordt dan:

\[\large{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} k} \cdot \frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d} x}}\]

De afgeleide van \(u\) naar \(k\) is hetzelfde als dat we bij voorbeeld \(1\) hadden gedaan:

\[\large{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} k} = 2k}\]

De afgeleide van \(k = x + 1\) naar \(x\) kunnen we bepalen door de afgeleide van de losse termen te nemen. De afgeleide van \(x\) is \(1\) en de afgeleide van \(1\) is \(0\). Dus:

\[\large{\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d} x} = 1 + 0 = 1}\]

De afgeleide van \(u\) naar \(x\) is dus:

\[\large{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 2k}\]

Als we dit opschrijven in termen van \(x\):

\[\large{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 2(x + 1)}\]

Nu kunnen we \(\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}}\) bepalen:

\[\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}\]

\[\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{u} \cdot 2\left(x + 1\right)}\]

Als we \(u\) schrijven in termen van \(x\):

\[\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^2} \cdot 2(x + 1)}\]

Dit kunnen we weer versimpelen naar:

\[\large{\boxed{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \frac{2}{\left(x + 1\right)}}}\]

Nu kunnen we uiteindelijk de afgeleide van \(f(x)\) bepalen! Dit is wat we allemaal hebben gevonden:

\(\large{f'(x) = \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} \cdot h(x) + g(x) \cdot \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x}}\)
\(\large{\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \frac{2}{\left(x + 1\right)}}\)
\(\large{h(x) = \sqrt{x}}\)
\(\large{\left. \begin{array}{ l l } g(u) = \ln(u) \\ u(x) = \left(x + 1\right)^2 \end{array} \right\} \Longrightarrow g(x) = \ln\left((x + 1)^2 \right)}\)
\(\large{\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}}\)

Laten we de vergelijking gaan invullen:

\[\large{f'(x) = \frac{2}{\left(x + 1\right)} \cdot \sqrt{x} + \ln\left((x + 1)^2 \right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}\]

Dit kunnen we nog verder versimpelen:

\[\large{\frac{2\sqrt{x}}{\left(x + 1\right)} + \frac{\ln\left((x + 1)^2 \right)}{2\sqrt{x}}}\]

We kunnen met de Regels van Logaritmes het kwadraat uit de \(\ln\) halen:

\[\large{\frac{2\sqrt{x}}{\left(x + 1\right)} + \frac{2\ln(x + 1)}{2\sqrt{x}}}\]

De \(2\) in de teller en de noemer vallen dan tegen elkaar weg. Ons eindantwoord wordt dus:

\[\large{\frac{2\sqrt{x}}{\left(x + 1\right)} + \frac{\ln(x + 1)}{\sqrt{x}}}\]

Zelf Oefenen

Opdrachten Antwoorden

Extreme waardes bepalen

Zoals we zagen bij het filmpje van een parabool, is de helling \(0\) bij een top. Dit kunnen we ook zien aan de raaklijn, want die is gewoon horizontaal. Op dat punt verandert de \(y\) dus niet als \(x\) een klein beetje verandert.

Dit kunnen we gebruiken om de coördinaten van de extreme waarde te bepalen.* We moeten dan dus kijken waar de helling en dus de afgeleide gelijk is aan \(0\). Hier hoort de volgende vergelijking bij:

\[\large{f'(x) = 0}\]

Als we deze vergelijking oplossen, vinden we alle \(x\)-coördinaten van de toppen. Als we deze \(x\)-coördinaten invullen in \(f(x)\), vinden we ook de bijbehorende \(y\)-coördinaten.

* Extreme waarde is een andere naam voor de top van een grafiek.

Maar let op!

Niet alle \(x\)-coördinaten die je vindt met \(f'(x) = 0\) zijn ook echt extreme waardes. Kijk maar bijvoorbeeld naar de volgende functie:

\[f(x) = x^3\]

Als we hiervan de afgeleide bepalen, dan vinden we:

\[f'(x) = 3x^2\]

Stellen we dit gelijk aan \(0\), dan vinden we:

\[3x^2 = 0\]

\[x = 0\]

We kunnen het bijbehorende \(y\) coordinaat vinden als we \(x=0\) in \(f(x)\) invullen:

\[f(0) = 0^3 = 0\]

We krijgen dus de coördinaten \((0,0)\) voor dit punt.

Maar is dit punt ook werkelijk een extreme waarde (een minimum of maximum van de functie)? Laten we de grafiek tekenen om dit te onderzoeken.

Top van functie — Figuur 1. Plot van de grafiek \(f(x) = x^3\)

Zoals we in Figuur 1 kunnen zien, is dit punt geen extreme waarde van deze functie. Dit punt is namelijk geen minimum of maximum.

Het is daarom altijd belangrijk om de functie te plotten op de GR. Zo kun je controleren of het gevonden punt ook echt een extreme waarde is. En als het een extreme waarde is, kun je gelijk zien of het een minimum of maximum is.

Laten we naar een voorbeeld kijken. Stel we hebben de volgende functie:

\[f(x) = -x^2 + 2,\]

en we willen van deze functie de coördinaten van de top bepalen. Hoe pakken we dit aan?

We beginnen dus met de afgeleide bepalen van \(f(x)\). De \(-x^2\) term heeft de vorm \(ax^n\), dus de afgeleide wordt van de vorm \(n \cdot ax^{n-1}\). In dit geval hebben we \(a = -1\) en \(n = 2\). Verder is de \(+2\) term een constante (heeft geen \(x\)) en dus is de afgeleide daarvan \(0\). Als we dit samenvoegen vinden we dus:

\[f'(x) = -2x^{2-1} + 0\]

\[\boxed{f'(x) = -2x}\]

Nu willen we de top bepalen, dus moeten we de afgeleide gelijk stellen aan \(0\):

\[f'(x) = 0\]

\[-2x = 0\]

\[\boxed{x = 0}\]

Het \(x\)-coördinaat van onze top is dus \(0\). Om het \(y\)-coördinaat van de top te bepalen, moeten we dit invullen in de originele functie \(f(x)\). We krijgen dan:

\[f(0) = -0^2 + 2\]

\[\boxed{f(0) = 2}\]

Het \(y\)-coördinaat van de top is dus bij \(y=2\). De coördinaten van de top zijn dus:

\[\large{(0, 2)}\]

Maar we moeten nog wel controleren of dit ook echt een top is. Daarom plotten we deze functie nog even op onze GR.

En inderdaad, dit is een extreme waarde (in dit geval een maximum).

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Bepaal de extreme waarde van \(f(x) = 6x^2 - 12x + 9\)

Bepaal de coördinaten van de extreme waarde van \(f(x) = 6x^2 - 12x + 9\)

Uitwerking

We moeten de extreme waarde bepalen van \(f(x)\), dus de top van deze grafiek. Om dit te doen, moeten we de afgeleide van \(f(x)\) gelijk aan \(0\) stellen. Laten we eerst de afgeleide van \(f(x)\) bepalen.

De afgeleide kunnen we bepalen door de afgeleides van de losse termen bij elkaar op te tellen (somregel). De afgeleide wordt dan dus:

\[\large{f'(x) = 2 \cdot 6x^{2-1} - 12}\]

\[\large{f'(x) = 12x - 12}\]

Om de extreme waarde te bepalen, moeten we dit dus gelijk stellen aan \(0\):

\[\large{12x - 12 = 0}\]

Nu kunnen we dit oplossen om het \(x\)-coördinaat van de top te vinden:

\[\large{12x = 12}\]

\[\large{\boxed{x = 1}}\]

Het \(x\)-coördinaat van de top is dus \(x = 1\). Het \(y\)-coördinaat bepalen we door \(x=1\) in \(f(x)\) in te vullen:

\[\large{f(1) = 6 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 9}\]

\[\large{\boxed{f(1) = 3}}\]

De coördinaten van de top zijn dus:

\[\large{(1, 3)}\]

Nu moeten we nog even controleren of dit ook echt een extreme waarde is. Daarom plotten we de functie even op onze GR.

En inderdaad, dit punt is een extreme waarde (een minimum in dit geval).

Voorbeeld 2: Bepaal de extreme waardes van \(f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 3\)

Bepaal de coördinaten van de extreme waardes van \(f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 3\)

Uitwerking

We moeten weer de extreme waardes bepalen. Dit betekent dus dat we de afgeleide gelijk aan \(0\) moeten stellen. Laten we weer eerst de afgeleide bepalen.

We kunnen weer de afgeleides van de losse termen bij elkaar op tellen (somregel):

\[\large{f'(x) = 3 \cdot -x^{3-1} + 6 \cdot 2x^{2-1} - 9}\]

\[\large{f'(x) = -3x^2 + 12x - 9}\]

Nu stellen we deze afgeleide gelijk aan \(0\):

\[\large{-3x^2 + 12x - 9 = 0}\]

Dit is een kwadratische vergelijking die we gewoon kunnen oplossen. We beginnen met alle termen te delen door \(-3\):

\[\large{x^2 - 4x + 3 = 0}\]

We proberen dit eerst op te lossen met ontbinden in factoren. Het ontbinden doen we met de product-som methode.

We maken eers een tabel met alle factoren die samen \(3\) geven.

Factor 1	Factor 2	Product
1	3	3
-1	-3	3

Nu maken we de bijbehorende som tabel om te kijken welke factoren samen \(-4\) zijn.

Factor 1	Factor 2	Som
1	3	4
-1	-3	-4

De factoren zijn dus \(-1\) en \(-3\). De vergelijking wordt dus:

\[\large{(x - 1)(x - 3) = 0}\]

\[\large{x - 1 = 0 \ \vee \ x - 3 = 0}\]

Dit geeft ons de \(x\)-coördinaten:

\[\large{\boxed{x = 1 \ \vee \ x = 3}}\]

In dit geval zijn er dus schijnbaar twee extreme waardes. We berekenen bij beide extreme waardes de bijbehorende \(y\)-coördinaten. Dit doen we door elk \(x\)-coördinaat in \(f(x)\) te stoppen:

\[\large{f(1) = -(1)^3 + 6 \cdot (1)^2 - 9 \cdot 1 + 3}\]

\[\large{\boxed{f(1) = -1}}\]

\[\large{f(3) = -(3)^3 + 6 \cdot (3)^2 - 9 \cdot 3 + 3}\]

\[\large{\boxed{f(3) = 3}}\]

De coördinaten van de twee extreme waardes zijn dus:

\[\large{(1, -1) \textrm{ en } (3, 3)}\]

Laten we dit nog even controleren door de functie op onze GR te plotten.

We zien hier dat het inderdaad beide extreme waardes zijn (eerste een minimum, tweede een maximum)

Voorbeeld 3: Bepaal de extreme waarde van \(f(x) = (x-2)^{7}\)

Bepaal de coördinaten van de extreme waarde van \(f(x) = (x-2)^{7}\)

Uitwerking

Om de extreme waarde te bepalen, stellen we de afgeleide van \(f(x)\) gelijk aan \(0\). We beginnen dus met het bepalen van de afgeleide:

We zien dat deze functie bestaat uit een functie in een functie. We hebben namelijk:

\(\large{u(x) = x - 2}\)
\(\large{f(u) = u^7}\)

Om de afgeleide te bepalen, moeten we dus de kettingregel toepassen:

\[\large{f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u} \ \cdot \ \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}\]

We berekenen eerst de afgeleide van \(f\) naar \(u\). De functie heeft de vorm \(ax^n\), waarbij we hier hebben dat \(a=1\) en \(n=7\). De afgeleide heeft de standaardvorm \(n \cdot ax^{n-1}\), dus we krijgen hier:

\[\large{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u} = 7 \cdot u^{7-1}}\]

\[\large{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u} = 7u^6}\]

En nu bepalen we de afgeleide van \(u\) naar \(x\):

\[\large{u(x) = x - 2}\]

De \(x\) term heeft de vorm \(ax\), met \(a=1\). De afgeleide van deze standaardvorm is \(a\), dus in dit geval gewoon \(1\). De \(-2\) term is een constante (term zonder \(x\)), dus daarvan is de afgeleide \(0\):

\[\large{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 1 + 0 = 1}\]

Nu kunnen we dit samenvoegen om te vinden:

\[\large{f'(x) = 7u^6 \cdot 1}\]

\[\large{f'(x) = 7u^6}\]

Als we \(u\) weer terug substitueren (schrijven in termen van \(x\)), krijgen we als afgeleide:

\[\large{f'(x) = 7(x - 2)^6}\]

Om de extreme waarde te bepalen, moeten we deze afgeleide dus gelijk aan \(0\) stellen:

\[\large{f'(x) = 0}\]

\[\large{7(x - 2)^6 = 0}\]

Dit kan alleen \(0\) zijn als er geldt dat:

\[\large{x - 2 = 0}\]

Als we dit oplossen, vinden we:

\[\large{x = 2}\]

Het \(x\)-coördinaat van de top is dus \(2\). Als we dit in \(f(x)\) invullen, vinden we als \(y\)-coördinaat:

\[\large{f(2) = (2 - 2)^7 = 0}\]

De coördinaten van onze top zijn dus:

\[\large{(2, 0)}\]

Maar we moeten dit wel nog even controleren door de functie te plotten op onze GR.

We kunnen hier dus zien dat het helemaal geen extreme waarde is! Deze functie heeft dus gewoon geen extreme waardes.

Voorbeeld 4: Bepaal de extreme waardes van \(f(x) = 10e^x(x^2 + 4x + 0.4)\)

Bepaal de coördinaten van de extreme waardes van \(f(x) = 10e^x(x^2 + 4x + 0.4)\)

Uitwerking

Om de extreme waardes te bepalen, moeten we de afgeleide gelijk aan \(0\) stellen. Dus als eerst bepalen we de afgeleide van \(f(x)\).

\(f(x)\) bestaat uit twee functies keer elkaar, dus moeten we de productregel gebruiken. We noemen deze functies even \(g(x)\) en \(h(x)\):

\(\large{g(x) = 10e^x}\)
\(\large{h(x) = x^2 + 4x + 0.4}\)

De productregel vertelt ons dat:

\[\large{f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)}\]

Laten we dus \(g'(x)\) en \(h'(x)\) bepalen:

\(g(x)\) is een \(e\)-macht, dus de afgeleide is weer zichzelf (zie eventueel de tabel):

\[\large{g'(x) = 10e^x}\]

De afgeleide van \(h(x)\) kunnen we bepalen met de eerste drie regels van de tabel:

\[\large{h'(x) = 2x + 4}\]

Nu we passen we de productregel toe:

\[\large{f'(x) = 10e^x \cdot (x^2 + 4x + 0.4) + 10e^x \cdot (2x + 4)}\]

Dit kunnen we versimpelen tot:

\[\large{f'(x) = 10e^x(x^2 + 6x + 4.4)}\]

Om de extreme waardes te bepalen, stellen we deze afgeleide gelijk aan \(0\):

\[\large{10e^x(x^2 + 6x + 4.4) = 0}\]

We zien hier dat deze twee factoren keer elkaar \(0\) zijn. Dit kan alleen als een van de twee factoren \(0\) is:

\[\large{10e^x = 0 \ \vee \ x^2 + 6x + 4.4 = 0}\]

Maar \(e^x\) wordt nooit \(0\), ongeacht welke \(x\) je invult. Dit betekent dus dat de rechter vergelijking \(0\) moet zijn:

\[\large{x^2 + 6x + 4.4 = 0}\]

Ontbinden in factoren wordt hier lastig en dus gebruiken we de abc formule. We hebben:

\[\large{a = 1, \ b = 6, \ c = 4.4}\]

De discriminant wordt dan:

\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4.4 = 18.4\]

Nu kunnen we \(x\) bepalen:

\[\large{x = \frac{-6 + \sqrt{18.4}}{2 \cdot 1} \ \vee \ \frac{-6 - \sqrt{18.4}}{2 \cdot 1}}\]

We kunnen dit met een rekenmachine berekenen:

\[\large{x \approx -0.86 \ \vee \ x \approx -5.14}\]

De bijbehorende \(y\)-coördinaten kunnen we bepalen door dit in te vullen in \(f(x)\):

\[\large{f(-0.86) = 10e^{-0.86}\left((-0.86)^2 + 4 \cdot (-0.86) + 0.4 \right)}\]

\[\large{f(-0.86) \approx -9.7}\]

\(\(\large{f(-5.14) = 10e^{-5.14}\left((-5.14)^2 + 4 \cdot (-5.14) + 0.4 \right)}\)\)

\[\large{f(-5.14) \approx 0.37}\]

De coördinaten van de twee extreme waardes zijn dus:

\[\large{(-0.86, -9.7) \textrm{ en } (-5.14, 0.37)}\]

Dit moeten we wel nog even controleren door de functie te plotten op de GR.

En we zien inderdaad dat het beide extreme waardes zijn.

Voorbeeld 5: Bepaal de extreme waardes van \(f(x) = \cos^2(2x)\) in het domein \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)

Bepaal de coördinaten van de extreme waardes van \(f(x) = \cos^2(2x)\) in het domein \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)

Uitwerking

Om de extreme waardes te bepalen, moeten we de afgeleide gelijk aan \(0\) stellen. We beginnen dus met de afgeleide van \(f(x)\) te bepalen. Deze functie bestaat uit meerdere functies in elkaar:

\(\large{u(x) = \cos(2x)}\)
\(\large{f(u) = u^2}\)

De kettingregel vertelt ons:

\[\large{f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u} \ \cdot \ \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}\]

We beginnen met \(\large{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u}}\) te bepalen:

\[\large{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u} = 2 \cdot u^{2-1}}\]

\[\large{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u} = 2u}\]

Als we dit schrijven in termen van \(x\):

\[\large{\boxed{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u} = 2 \cos(2x)}}\]

Nu bepalen we \(\large{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x}}\). Maar let op! Deze functie bestaat ook uit meerdere functies in elkaar:

\(\large{g(x) = 2x}\)
\(\large{u(g) = \cos(g)}\)

Dus we kunnen \(\large{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x}}\) bepalen door weer de kettingregel te gebruiken:

\[\large{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} g} \cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d} x}}\]

De afgeleide van \(g\) naar \(x\) is:

\[\large{\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d} x} = 2}\]

En de afgeleide van \(u\) naar \(g\) kunnen we in de tabel opzoeken:

\[\large{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} g} = -\sin(g)}\]

De afgeleide van \(u\) naar \(x\) wordt dan dus:

\[\large{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x} = -\sin(g) \cdot 2}\]

En als we \(g\) weer in termen van \(x\) doen:

\[\large{\boxed{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x} = -2 \sin(2x)}}\]

De afgeleide van \(f\) naar \(x\) wordt dan dus:

\[\large{f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x}}\]

Als we dit nu invullen, vinden we:

\[\large{f'(x) = 2 \cos(2x) \cdot -2 \sin(2x)}\]

\[\large{f'(x) = -4 \sin(2x) \cos(2x)}\]

Dit kunnen we eventueel nog verder versimpelen met de sinus verdubbelingsformule. We krijgen dan:

\[\large{f'(x) = -2 \sin(4x)}\]

Nu kunnen we deze afgeleide gelijk aan \(0\) stellen om de extreme waardes te bepalen:

\[\large{-2 \sin(4x) = 0}\]

\[\large{\sin(4x) = 0}\]

\[\large{\sin(4x) = \sin(0)}\]

Als we dit oplossen dan vinden we:

\[\large{4x = k \cdot 2\pi \ \vee \ 4x = \pi + k \cdot 2\pi}\]

Dit kunnen we ook schrijven als:

\[\large{4x = k \cdot \pi}\]

Als we aan beide kanten door \(4\) delen:

\[\large{x = \frac{1}{4} k \cdot \pi,}\]

waarbij \(k\) een geheel getal is.

We moesten alle extreme waardes geven in het domein \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). Dus dan krijgen we de volgende oplossingen:

\[\large{x = -\frac{1}{2} \pi \ \vee \ x = -\frac{1}{4} \pi \ \vee \ x = 0 \ \vee \ x = \frac{1}{4} \pi \ \vee \ x = \frac{1}{2} \pi}\]

Als we al deze \(x\)-coördinaten invullen in \(f(x)\), dan kunnen we de bijbehorende \(y\)-coördinaten berekenen:

\[\large{y = \left\{ \begin{array}{ c c c c c } f(- \frac{1}{2} \pi) = 1 \\ f(- \frac{1}{4} \pi) = 0 \\ f(0) = 1 \\ f(\frac{1}{4} \pi) = 0 \\ f(\frac{1}{2} \pi) = 1 \\ \end{array} \right. }\]

Onze coördinaten voor de toppen worden dus:

\[\large{(-\frac{1}{2} \pi, 1), \ (-\frac{1}{4} \pi, 0), \ (0, 1), \ (\frac{1}{4} \pi, 0) \textrm{ en } (\frac{1}{2} \pi, 1)}\]

Dit moeten we nog even controleren door het te plotten op onze GR.

En inderdaad, dit zijn allemaal extreme waardes.