Kwadratische Vergelijkingen
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking met een kwadratische term als hoogste orde. Dus de hoogste macht die voor komt in de vergelijking is een 2. We zien hieronder een voorbeeld van een kwadratische vergelijking:
De \(x^2\) term maakt dit een kwadratische vergelijking. Maar de vraag is, hoe lossen we dit op? Hier hebben we een aantal methodes voor, afhankelijk van de vorm van de vergelijking.
Oplossen vorm x² = c
We beginnen met het oplossen van een vergelijking in de vorm
waarbij \(c\) een willekeurig positief getal is. Bijvoorbeeld:
We lossen dit op door aan beide kanten de wortel te nemen. We krijgen dan het volgende:
De wortel en het kwadraat heffen elkaar op zodat er alleen \(x\) over blijft:
(zie eventueel regel 6 van de Regels met Wortels). De wortel van \(9\) kunnen we schrijven als:
Maar let op!
Dit betekent dus dat \(-3\) ook een oplossing is voor \(x\). Deze vergelijking heeft dus \(2\) oplossingen! De oplossing \(x=3\) en de oplossing \(x=-3\). Dit komt doordat het kwadraat het min-teken laat wegvallen. Hier willen we rekening mee houden.
Als we een kwadraat willen weg werken, dan moeten we het volgende zeggen:
Voor de vergelijking:
geldt er dat:
Wiskundig noteren we deze "of" op de volgende manier:
Als we die \(\sqrt{9}\) weer uitwerken, dan vinden we dat:
In het algemeen wordt dit:
Belangrijk
Algemene oplossing
Voor de vergelijking
met \(c\) een willekeurig positief getal, geldt er dat de oplossingen zijn:
Opmerkingen
Opmerking over de vorm
De vergelijking moet soms misschien nog omgeschreven worden naar de juiste vorm. Laten we bijvoorbeeld naar deze vergelijking kijken:
Deze vergelijking heeft alleen getallen en termen met \(x^2\). Dit betekent dus dat we deze vergelijking kunnen omschrijven naar de vorm \(x^2 = c\). Dit doen we door eerst aan beide kanten van het '\(=\)'-teken \(16\) op te tellen om de \(-16\) weg te laten vallen:
En dit wordt dus:
We kunnen dit nu in de juiste vorm schrijven door aan beide kanten van '\(=\)'-teken te delen door \(2\):
En dit kunnen we weer opgelossen met de methode die hierboven is uitgelegt.
Opmerking notatie
We kunnen de oplossing
ook schrijven als
En dit betekent verder precies hetzelfde. Er zijn twee oplossingen, een oplossing met een plus, en een oplossing met een min. Het is dus alleen een verschil in notatie.
Opmerking negatief getal
In de Algemene oplossing staat dat \(c\) een positief getal moet zijn, maar waarom? Wat gebeurt er als het een negatief getal is?
Laten we kijken naar het volgende voorbeeld:
De vraag hier is, welk getal kunnen we keer zichzelf doen om \(-1\) te krijgen? Als we een positief getal, zoals bijvoorbeeld \(1\) proberen, dan vinden we:
Dit is een positief getal en dus niet gelijk aan \(-1\). Laten we een negatief getal proberen, zoals \(-1\):
Dit is ook een positief getal, en dus ook niet gelijk aan \(-1\). We kunnen dus op geen enkele manier een negatief getal krijgen uit een kwadraat. Met andere woorden, deze vergelijking heeft geen oplossing. Dit is dus ook de reden dat een wortel van een negatief getal niet bestaat, er is namelijk geen oplossing.
Geen Oplossing
Uitleg Filmpje
Youtube
Voorbeelden
Voorbeeld 1: \(x^2= 1\)
Los op: \(x^2= 1\) Uitwerking
We kunnen dit oplossen met de Algemene oplossing. We krijgen dan:
Als we de wortels uitwerken vinden we:
Voorbeeld 2: \(5x^2 - 9 = 16\)
Los op: \(5x^2 - 9 = 16\) Uitwerking
Om dit op te lossen, moeten we het eerst in de juiste vorm van \(x^2=c\) schrijven. Dit doen we door eerst alle losse getallen naar de rechterkant te halen. En dit kunnen we doen door aan beide kanten \(+9\) te doen:
Nu delen we aan beide kanten door \(5\) om links alleen \(x^2\) over te houden:
Nu staat het in de juiste vorm, en kunnen we de Algemene oplossing gebruiken:
In dit geval kunnen we deze wortels niet versimpelen en is dit dus ook gelijk ons eindantwoord.
Voorbeeld 3: \(-4x^2 + 5 = 13\)
Los op: \(-4x^2 + 5 = 13\) Uitwerking
We lossen dit weer op door het in de juiste vorm te schrijven. We doen dit door eerst aan beide kanten \(-5\) te doen:
Nu kunnen we aan beide kanten delen door \(-4\) om links alleen \(x^2\) over te houden:
Maar let op! We hebben nu een negatief getal rechts staan. In de Opmerking over een Negatief Getal hebben we gezien dat dit geen oplossingen heeft. Dit komt omdat een getal in het kwadraat kan nooit negatief kan zijn.
Geen Oplossing
Oplossen vorm x² + bx = 0
Laten we nu kijken naar het oplossen van een vergelijking met de algemene vorm:
Deze vorm heeft een \(x^2\) term en een \(x\) term, maar geen los getal. Bij deze vorm willen we de \(x\) ontbinden op de volgende manier:
Zie eventueel regel 3 uit de Basisvaardigheden. We kunnen dit nu oplossen met een belangrijk inzicht.
Twee dingen keer elkaar kunnen alleen \(0\) zijn als een van de twee termen gelijk is aan \(0\).
Het maakt niet uit hoe groot of klein beide getallen zijn, als een van de twee termen niet \(0\) is, dan kan het product nooit \(0\) worden. We kunnen dus de volgende conclusie trekken:
De tweede vergelijking kunnen we nu oplossen door aan beide kanten van het '='-teken \(-b\) te doen. We vinden dan de oplossing:
Belangrijk
Algemene Oplossing
Een vergelijking van de vorm:
kan worden ontbonden tot:
Als twee dingen keer elkaar \(0\) zijn, dan moet een van de twee factoren \(0\) zijn:
Onze eindoplossing wordt dan:
Uitleg Filmpje
Youtube
Voorbeelden
Voorbeeld 1: \(x^2 - x = 0\)
Los op: \(x^2 - x = 0\) Uitwerking
Om dit op te lossen passen we hetzelfde trucje toe als hierboven. We beginnen dus met het ontbinden van de \(x\) die in beide termen aanwezig is:
Doordat een van de twee termen gelijk moet zijn aan \(0\) kunnen we zeggen dat:
En nu kunnen we rechts aan beide kanten van het '\(=\)'-teken \(+1\) doen:
Voorbeeld 2: \(2x + x^2 = 7x^2 - 10x\)
Los op: \(2x + x^2 = 7x^2 - 10x\) Uitwerking
Om dit op te lossen, moeten we het eerst naar de algemene vorm brengen. We willen alle termen met \(x\) en \(x^2\) naar de linker kant halen. We doen dit door aan beide kanten \(-7x^2\) en \(+10x\) te doen. We krijgen dan:
We kunnen de volgorde ook omdraaien en het schrijven op de volgende manier:
Nu willen we beide kanten delen door \(-6\) om het in de algemene vorm te zetten
Nu kunnen we weer de \(x\) buiten haakjes halen:
Dit kan alleen gelden als een van de twee factoren \(0\) is. Dus:
Nu kunnen we rechts aan beide kanten van het '\(=\)'-teken \(+2\) doen. We vinden dan als eindantwoord:
Oplossen vorm x² + bx + c = 0
Laten we nu kijken naar het oplossen van de algemene vorm
We hebben hiervoor drie methodes. Als eerst hebben we de snellere methode van ontbinden in factoren. Daarna hebben we de iets minder snelle methode, maar die altijd werkt: De abc formule. En als laatst hebben we kwadraat afsplitsen dat ook altijd werkt, maar vaak meer stappen zijn.
Laten we als eerst beginnen met ontbinden in factoren.
Ontbinden in factoren
Zoals de naam eigenlijk al zegt, willen we de vergelijking ontbinden in twee factoren. Stel we hebben bijvoorbeeld de volgende vergelijking:
Deze vergelijking kunnen we ook op de volgende manier schrijven:
Dit is eigenlijk het omgekeerde van Kwadratische haakjes wegwerken. De factoren om te kunnen ontbinden zijn hier dus \(+2\) en \(+1\). We zullen straks zien hoe we zelf de factoren moeten bepalen.
Deze twee factoren keer elkaar kunnen alleen \(0\) zijn als een van de twee factoren gelijk is aan \(0\). Dit is eigenlijk dezelfde denkstap als bij het oplossen van \(x^2+bx=0\). We kunnen hieruit dus de volgende conclusie trekken:
We kunnen de linker vergelijking versimpelen door aan beide kanten van het '\(=\)'-teken \(−2\) te doen. De rechter vergelijking kunnen we versimpelen door aan beide kanten van het '\(=\)'-teken \(−1\) te doen. We vinden dan als eindantwoord:
Maar hoe weten we wat de factoren zijn om te kunnen ontbinden? Dit kunnen we doen met de product-som methode.
Product-Som methode
Als we een vergelijking ontbinden in factoren, dan heeft het de volgende vorm:
We kunnen dit weer uitwerken door de Kwadratische haakjes weg te werken. We krijgen dan
Dus als we een vergelijking in de vorm \(x^2 + bx + c\) hebben, dan weten we dat de factoren moeten voldoen aan:
en
Vandaar de naam "product-som" methode.
We moeten dus twee getallen vinden die keer elkaar gelijk zijn aan \(c\) en plus elkaar gelijk zijn aan \(b\). Als we twee getallen vinden die daaraan voldoen, dan kunnen we het ontbinden met die getallen.
Dus in het voorbeeld hadden we de vergelijking:
En nu moeten we kijken welke twee getallen keer elkaar \(2\) zijn, en plus elkaar \(3\). Dit zijn de getallen \(2\) en \(1\), want \(2 \times 1 = 2\) en \(2 + 1 = 3\). Dus we kunnen de vergelijking ontbinden naar de vorm:
en dat is ook wat we in het voorbeeld hadden.
Belangrijk
Voor een vergelijking van de vorm
kunnen we het ontbinden naar de vorm
als:
- \(p \times q = c\), en
- \(p + q = b\).
Stappenplan
- Verzin twee getallen die samen gelijk zijn aan \(c\).
- Check of deze twee getallen samen gelijk zijn aan \(b\)
- Klopt dit? Dan heb je de juiste \(2\) factoren gevonden.
Nu een concreet voorbeeld om dit te verduidelijken.
Stel we hebben de volgende vergelijking die we willen ontbinden:
We pakken dit aan door te kijken welke (gehele) getallen keer elkaar gelijk zijn aan 24. We maken hier de volgende tabel van
| Factor 1 | Factor 2 | Product |
|---|---|---|
| 1 | 24 | 24 |
| 2 | 12 | 24 |
| 3 | 8 | 24 |
| 4 | 6 | 24 |
We kijken nu welke twee factoren we samen kunnen optellen om \(11\) te krijgen.
| Factor 1 | Factor 2 | Som |
|---|---|---|
| 1 | 24 | 25 |
| 2 | 12 | 14 |
| 3 | 8 | 11 |
| 4 | 6 | 10 |
Dus in dit geval zijn de juiste factoren \(8\) en \(3\). We kunnen de vergelijking dus schrijven als:
Als we dit oplossen vinden we:
Uitleg Filmpje
Youtube
Voorbeelden
Voorbeeld 1: \(x^2 -2x - 8 = 0\)
Los op: \(x^2 -2x - 8 = 0\) Uitwerking
We willen dit weer op lossen door te ontbinden in factoren. Dit kunnen we doen met de product-som methode. We maken een tabel met alle combinaties 2 factoren die keer elkaar −8 zijn:
| Factor 1 | Factor 2 | Product |
|---|---|---|
| -1 | 8 | -8 |
| 1 | -8 | -8 |
| -2 | 4 | -8 |
| 2 | -4 | -8 |
Nu tellen we de twee factoren bij elkaar op en kijken we welke samen \(-2\) zijn:
| Factor 1 | Factor 2 | Som |
|---|---|---|
| -1 | 8 | 7 |
| 1 | -8 | -7 |
| -2 | 4 | 2 |
| 2 | -4 | -2 |
We weten nu dus dat de juiste factoren \(2\) en \(-4\) zijn. We kunnen dit dus ontbinden naar:
Als we dit uitwerken vinden we:
Voorbeeld 2: \(-5x^2 = 25x + 20\)
Los op: \(-5x^2 = 25x + 20\) Uitwerking
In dit voorbeeld staat onze vergelijking nog niet in de algemene vorm van \(x^2 + bx + c = 0\). Om het in de juiste vorm te schrijven, willen we alles aan de linker kant hebben. Dit doen we door aan beide kanten \(-25x\) en \(-20\) te doen:
Nu delen we door \(-5\) om het naar de algemene vorm te brengen:
Nu willen we dit ontbinden in factoren. Dit kunnen we doen met de product-som methode (of als je het in een keer ziet mag dat natuurlijk ook). We maken weer een tabel met de factoren om 4 als product te krijgen.
| Factor 1 | Factor 2 | Product |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 4 |
| -1 | -4 | 4 |
| 2 | 2 | 4 |
| -2 | -2 | 4 |
We maken nu de som tabel om te kijken welke factoren samen \(5\) zijn.
| Factor 1 | Factor 2 | som |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 5 |
| -1 | -4 | -5 |
| 2 | 2 | 4 |
| -2 | -2 | -4 |
De juiste factoren zijn dus \(1\) en \(4\) en dus kunnen we de vergelijking ontbinden naar:
Als we dit uitwerken vinden we:
De abc formule
In sommige gevallen gaat ontbinden in factoren lastig. Dit is vaak als je alle combinaties van gehele getallen hebt geprobeerd, maar dat de som niet is wat je zoekt. Of als \(b\) of \(c\) in \(𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐\) geen gehele getallen zijn, dan gaat ontbinden in factoren vaak ook lastig.
In dat soort gevallen gebruiken we de abc formule. Maar wat is de abc formule precies en hoe gebruiken we het?
Belangrijk
De abc formule gaat als volgt:
Voor een vergelijking van de vorm:
zijn de oplossingen:
waarbij \(D\) de zogenaamde discriminant is:
\(\pm\) betekent dat er \(1\) oplossing is waar we \(+\) gebruiken en 1 oplossing is waar we \(-\) gebruiken.
Discriminant
Discriminant
Waarom gebruiken we een discriminant? We zouden het toch ook meteen in de formule kunnen invullen en maar \(1\) ding hoeven te onthouden?
Nou, de waarde van de discriminant vertelt ons hoeveel oplossingen er zijn. En voor sommige vragen kan dit heel nuttig zijn om te gebruiken.
Kijk bijvoorbeeld naar de volgende voorbeelden (ook gebruikt in snijpunten met de \(x\)-as).
Twee snijpunten
Stel we hebben de functie \(f(x) = x^2 - 1\) en we willen erachter komen hoeveel snijpunten deze functie heeft met de \(x\)-as. We stellen dan dat:
(zie eventueel dus ook de sectie snijpunten met de \(x\)-as). Als we \(f(x)\) invullen, wordt dit:
Laten we nu de discriminant bepalen. We hebben in dit geval:
De discriminant wordt dan:
Er geldt hier dus dat:
\(f(x)\) heeft dus \(2\) snijpunten met de \(x\)-as. Als we de grafiek van \(f(x)\) plotten, zien we dat dit ook daadwerkelijk het geval is:
Eén snijpunt
Stel we kijken nu naar de grafiek \(f(x) = x^2 - 4x + 4\). Hoeveel snijpunten heeft deze functie met de \(x\)-as? Om dit te bepalen, moeten we eerst stellen dat:
Dus als we \(f(x)\) invullen:
Nu bepalen we weer de discriminant. We hebben:
De discriminant wordt dan:
Er geldt dus dat:
We weten nu dus dat \(f(x)\) maar \(1\) snijpunt heeft met de \(x\)-as (en dus de \(x\)-as raakt). Als we \(f(x)\) plotten zien we dat dit inderdaad het geval is.
Geen snijpunten
We kijken nu als laatst naar de functie \(f(x) = x^2 + 1\) om te bepalen hoeveel snijpunten dit heeft met de \(x\)-as. We stellen \(f(x)\) weer gelijk aan \(0\):
Nu gaan we de discriminant bepalen. We hebben:
De discriminant wordt dan:
Er geldt dus hier dat:
Deze functie heeft dus geen snijpunten met de \(x\)-as. We controleren dit weer met een plot van \(f(x)\).
We zien dat de grafiek van \(f(x)\) overal boven de \(x\)-as ligt, en dus zijn er inderdaad geen snijpunten.
Bewijs abc formule
Hieronder is een filmpje om te zien waar de abc formule vandaan komt.
Video
Filmpje: Bewijs voor de abc formule. De stappen gaan redelijk snel, dus zie tekst hieronder voor meer uitleg over de stappen.
Wat gebeurt hier? Eerst wordt er een functie geplot:
We verschuiven nu deze functie naar links, zodat de top op de \(𝑦\)-as komt te liggen. Het oude \(x\)-coordinaat van de top is \(- \frac{b}{2a}\), dus moeten we de functie verschuiven met \(\frac{b}{2a}\) om de top op de \(y\)-as te zetten. Dus vervangen we alle \(x\) termen met \(x' − \frac{b}{2a}\). We gebruiken hier \(x'\) om aan te geven dat dit over onze nieuwe verschoven functie \(g(x')\) gaat en niet over \(f(x)\).
We kunnen dit uitwerken door de kwadratische haakjes weg te werken.
We zien nu dat de alle termen met alleen \(x'\) weg vallen. Verder kunnen we \(\frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a}\) versimpelen tot \(-\frac{b^2}{4a}\). We houden dan over:
Als we nu de snijpunten bepalen van onze nieuwe \(g(x)\) functie met de \(x\)-as, dan weten we ook meteen de snijpunten van \(f(x)\) met de \(x\)-as. Die zijn namelijk precies hetzelfde als van $g(x), alleen terug verschoven met \(\frac{b}{2a}\). We bepalen de snijpunten met de \(x\)-as door te stellen dat:
(zie eventueel Snijpunten met de x-as). Als we \(g(x')\) invullen krijgen we:
Merk op, we hebben hier alleen een term met \(x'^2\) en een getal. Het is dus van de vorm \(x^2 = c\) en we weten hoe we dit moeten oplossen. We schrjven het eerst in de goeie vorm. Dit doen we door aan beide kanten \(+ \frac{b^2}{4a}\) en \(-c\) te doen:
Nu delen we beide kanten door \(a\):
De oplossing van deze vergelijking wordt dan (zie eventueel de opmerking over notatie):
We kunnen dit nog herschrijven door \(\frac{1}{4a^2}\) te ontbinden. We krijgen dan twee losse wortels (zie eventueel de regels met wortels)
We hebben bij de tweede term een extra \(4a\) toegevoegd zodat als we dit weer delen door \(4a^2\), we weer terug komen op \(\frac{c}{a}\). Als we nu de nieuwe wortel oplossen, vinden we:
Als we hier \(1\) breuk van maken, dan vinden we:
Dit zijn dus de oplossingen voor onze functie 𝑔(𝑥′). De oplossingen van 𝑓(𝑥) zijn dus precies hetzelfde, maar dan terug verschoven met \(\frac{b}{2a}\). We hadden eerst \(x\) vervangen met \(x' - \frac{b}{2a}\), dus nu moeten we \(x'\) vervangen met \(x + \frac{b}{2a}\) om het terug te verschuiven:
We kunnen nu aan beide kanten \(- \frac{b}{2a}\) doen:
We hebben nu twee dezelfde noemers en dus kunnen we hier \(1\) breuk van maken (zie eventueel de regels met breuken). Als we dit doen, dan zien we dat we nu de abc formule zelf afgeleid!
Laten we naar een voorbeeld kijken. Stel we hebben de vergelijking:
In dit geval kunnen we eerst proberen om het op te lossen door te ontbinden in factoren. De eerste stap is om alles te delen door \(3\).
\(b\) en \(c\) zijn geen gehele getallen, dus ontbinden in factoren wordt lastig. In dat geval gebruiken we dus de abc formule. We beginnen altijd met eerst bepalen wat \(a\), \(b\) en \(c\) zijn. In dit geval geldt er dat
We bepalen eerst de discriminant:
Met deze discriminant kunnen we nu de oplossingen bepalen:
Als we dit uitwerken vinden we:
Stond er in de vraag dat we mochten afronden op 2 decimalen? Dan wordt het antwoord:
Opmerking
We hadden hier net zo goed ook er voor kunnen kiezen om meteen te werken met de vorm:
Onze \(a\), \(b\) en \(c\) worden dan:
De discriminant wordt dan:
Vullen we dit in, dan vinden we:
En dit kunnen we weer versimpelen tot:
En dit is precies hetzelfde als wat we net ook hadden gevonden.
Uitleg Filmpje
Youtube
Voorbeelden
Voorbeeld 1: \(2x^2 + 48 \frac{1}{2}x + 12 = 0\)
Los op: \(2x^2 + 48 \frac{1}{2}x + 12 = 0\) Uitwerking
We zien hier dat \(b\) een breuk is, dus waarschijnlijk wordt ontbinden in factoren lastig. We kiezen er nu dus voor om meteen de abc formule te gebruiken. Hier geldt er dat:
We berekenen eerst de discriminant:
Nu kunnen we \(x\) bepalen:
Als we dit uitwerken vinden we:
Opmerking
Ondanks dat \(b\) een breuk was, hadden we dit nog steeds op kunnen lossen met ontbinden in factoren.
We beginnen met in de originele vergelijking alle termen te delen door \(2\). We vinden dan:
In dit geval is het een kwestie van zien dat de factoren \(24\) en \(\frac{1}{4}\) hieraan voldoen. Het product is namelijk \(6\) en de som is \(24 \frac{1}{4}\). Maar als je dit niet ziet, dan is dat oké. In dat geval gebruik je gewoon de abc formule zoals hierboven is gedaan en kom je er ook.
Met dit inzicht kunnen we de vergelijking schrijven als:
Hieruit kunnen we de conclusie trekken dat
Als we dit uitwerken dan vinden we:
Voorbeeld 2: \(x^2 + 5 \frac{19}{25} = 4\frac{4}{5}x\)
Los op: \(x^2 + 5 \frac{19}{25} = 4\frac{4}{5}x\) Uitwerking
We willen deze vergelijking eerst schrijven in de standaard vorm. Om dit te doen, willen we alle termen naar de linker kant halen. Dit doen we door beide kanten \(-4 \frac{4}{5}\) te doen. We krijgen dan:
Het is lastig om hier te zien in welke factoren we dit kunnen ontbinden. Daarom gaan we over op de abc formule. We hebben:
Onze discriminant wordt dan:
Onze discriminant is dus \(0\). Dit betekent dat we maar \(1\) oplossing verwachten. Deze oplossing voor \(x\) wordt:
En dus omdat plus of min \(0\) precies hetzelfde antwoord geeft, hebben we maar \(1\) oplossing. Als we dit versimpelen, dan vinden we:
Voorbeeld 3: \(-2x^2 + x + 9 = 3x + 11\)
Los op: \(-2x^2 + x + 9 = 3x + 11\) Uitwerking
We beginnen hier weer met de vergelijking schrijven in de algemene vorm. We halen alles naar de linker kant door aan beide kanten \(-3x\) en \(-10\) te doen:
We delen nu alle termen door \(-2\):
Deze vergelijking lijkt makkelijk om te ontbinden in factoren, maar dit blijkt erg lastig (probeer zelf maar). We gebruiken daarom de abc formule. We hebben:
We berekenen eerst de discriminant:
De discriminant is in dit geval dus negatief, namelijk \(-3\). Als we dit proberen in te vullen, gebeurt er iets interessants:
Zoals we hier kunnen zien, krijgen we hier een wortel van een negatief getal. En we weten dat een wortel van een negatief getal niet bestaat (zie eventueel de opmerking over een negatief getal). Met andere woorden, deze vergelijking heeft geen oplossing. En dit is ook wat we verwachten voor een discriminant kleiner dan \(0\).
Geen Oplossing
Kwadraat afsplitsen
Dit is een andere methode om kwadratische vergelijkingen op te lossen. Net zoals de abc formule werkt het in alle gevallen. Het duurt vaak iets langer dan de abc formule, maar je hoeft er geen formule voor te onthouden. Laten we kijken hoe het werkt met behulp van een voorbeeld.
Laten we kijken naar de volgende vergelijking:
Bij kwadraat afsplitsen willen we de \(x^2 + 6x\) term vervangen door iets tussen haakjes en dan in het kwadraat. In dit geval willen we het vervangen met \(\left(x + 3\right)^2\). Kijk maar wat er gebeurt als we de haakjes uitwerken (zie eventueel Kwadratische haakjes wegwerken):
We krijgen dus onze \(x^2 + 6x\) term terug door de haakjes \((x+3)^2\) uit te werken. Maar we krijgen dan ook een extra \(9\) die we niet willen hebben. Om deze weg te halen moeten we nog beide kanten \(-9\) doen:
Nu kunnen we dit in gaan vullen in de vergelijking in plaats van de \(x^2 + 6x\):
Het enige wat we dus hier hebben gedaan is de \(x^2 + 6x\) in de vergelijking vervangen met \((x+3)^2 - 9\). Dit kunnen we verder versimpelen naar:
We kunnen nu aan beide kanten \(+16\) doen om de \(16\) naar de andere kant te halen:
Deze vorm lijkt misschien lastig op te lossen, maar het is eigenlijk hetzelfde als de vorm \(x^2 = c\). Het enige verschil is dat we nu in plaats van een \(x\) een \(x+3\) term hebben. Maar de manier van oplossen gaat eigenlijk op dezelfde manier. We nemen aan beide kanten de wortel. Onze oplossingen worden dan:
Als we \(\sqrt{16}\) versimpelen dan vinden we:
Door nu aan beide kanten \(-3\) te doen vinden we onze eindoplossing:
Belangrijk
Algemene Oplossing
Een vergelijking in de vorm
kunnen we schrijven naar de vorm
Dit doen we door eerst de \(x^2 + bx\) term te vervangen met \(\left(x + \frac{b}{2} \right)^2\). Als we deze haakjes uitwerken krijgen we:
Maar de extra \(\left(\frac{b}{2} \right)^2\) term willen we niet hebben. Daarom moeten we de \(x^2 + bx\) term vervangen met \(\left(x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left(\frac{b}{2} \right)^2\). Want alleen dan kunnen we de \(x^2 + bx\) term volledig vervangen:
De \(- \left(\frac{b}{2} \right)^2 + c\) term is ook gewoon een getal, dus die noemen we even \(q\):
\(\frac{b}{2}\) is ook gewoon een getal, dus die noemen we even \(p\):
Door aan beide kanten \(+q\) te doen, kunnen we dit schrijven naar de vorm:
Dit kunnen we oplossen net zoals we de vorm \(x^2 = c\) oplossen.
Stappenplan
- Vervang de \(x^2 + bx\) term door \(\left(x + p \right)^2\), waarbij \(p\) de helft is van \(b\).
- Doe het nog \(-p^2\) om de extra factor die erbij komt weg te halen.
- Tel de getallen bij elkaar op.
- Haal het losse getal naar de andere kant. Je krijgt dus iets in de vorm \(\left(x + p \right)^2 = q\).
- Los dit nu op zoals de vorm \(x^2 = c\), maar nu met \(x + p\) in plaats van \(x\).
- Doe uiteindelijk aan beide kanten \(-p\) om de oplossingen te vinden: \(x = -p \pm \sqrt{q}\)
Uitleg Filmpje
Youtube
Voorbeelden
Voorbeeld 1: \(x^2 - 2x = 3\)
Los op door middel van kwadraat afsplitsen: \(x^2 - 2x = 3\) Uitwerking
We willen hier kwadraat afsplitsen, dus moeten we eerst de \(x^2 - 2x\) term vervangen naar iets met haakjes. De factor in de haakjes wordt de helft van \(-2\), dus \(-1\). Als we deze haakjes zouden uitwerken, dan vinden we een factor \(+1\) te veel:
Deze extra factor willen we niet hebben, dus trekken we die van de haakjes af. We moeten dus \(x^2 - 2x\) vervangen met \((x-1)^2 - 1\):
We doen nu aan beide kanten \(+1\):
We kunnen dit nu oplossen net zoals bij de vorm \(x^2 = c\). Wij hebben nu \(x-1\) in plaats van alleen \(x\), maar de methode is hetzelfde. We nemen aan beide kanten de wortel:
We kunnen \(\sqrt{4}\) versimpelen tot:
Door aan beide kanten \(+1\) te doen, vinden we onze eindoplossing:
Voorbeeld 2: \(x^2 + 3x + 1 = 0\)
Los op door middel van kwadraat afsplitsen: \(x^2 + 3x + 1 = 0\) Uitwerking
We beginnen weer door de term \(x^2 + 3x\) te vervangen door iets met haakjes. Het getal in de haakjes moet de helft van \(3\) zijn en dus gebruiken we de volgende haakjes:
We doen nu aan beide kanten \(-2 \frac{1}{4}\) om de extra factor weg te halen:
We kunnen nu dus \(x^2 + 3x\) vervangen met \(\left(x + 1\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \frac{1}{4}\):
We kunnen dit nog versimpelen door de getallen bij elkaar op te tellen:
We doen nu aan beide kanten \(+1 \frac{1}{4}\):
We lossen dit nu op zoals bij de vorm \(x^2 = c\). Wij hebben nu alleen \(x + 1\frac{1}{2}\) in plaats van alleen \(x\), maar de methode is hetzelfde:
We kunnen \(1 \frac{1}{4}\) ook schrijven als \(\frac{5}{4}\). Als we dit doen kunnen we onze wortel op de volgende manier schrijven:
Met behulp van de Regels met Wortels kunnen we dit schrijven als:
We kunnen \(\sqrt{4}\) versimpelen naar \(2\). Daarna kunnen we \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) schrijven als \(\frac{1}{2}\sqrt{5}\) (gedeeld door \(2\) of keer \(\frac{1}{2}\) is hetzelfde):
Nu kunnen we aan beide kanten \(- 1\frac{1}{2}\) doen om ons eindantwoord te vinden:
(we kunnen dit namelijk niet verder exact versimpelen)
Voorbeeld 3: \((x + 7)^2 = 81\)
Los op: \((x + 7)^2 = 81\) Uitwerking
Het lijkt hier handig om als eerste stap de haakjes weg te werken, maar dit is een omweg! Je komt er dan uiteindelijk wel, maar het kan veel makkelijker, let maar op. Deze vergelijking staat al een vorm die we meteen kunnen oplossen, namelijk de vorm \(x^2 = c\). We nemen aan beide kanten de wortel:
De \(\sqrt{81}\) kunnen we versimpelen naar \(9\):
Nu kunnen we aan beide kanten \(-7\) doen om ons eindantwoord te vinden:
De omweg
Zoals net gezecht kunnen we dit ook oplossen via een omweg, door namelijk de haakjes weg te werken (zie eventueel Kwadratische haakjes wegwerken):
Door nu aan beide kanten \(-81\) te doen, krijgen we:
We kunnen kijken of we dit kunnen oplossen met ontbinden in factoren. We maken een tabel met alle factoren die keer elkaar \(-32\) zijn:
| Factor 1 | Factor 2 | Product |
|---|---|---|
| -1 | 32 | -32 |
| 1 | -32 | -32 |
| -2 | 16 | -32 |
| 2 | -16 | -32 |
| -4 | 8 | -32 |
| 4 | -8 | -32 |
Nu maken we de bijbehorende som tabel om te kijken welke factoren samen \(+14\) zijn
| Factor 1 | Factor 2 | Som |
|---|---|---|
| -1 | 32 | 31 |
| 1 | -32 | -31 |
| -2 | 16 | 14 |
| 2 | -16 | -14 |
| -4 | 8 | 4 |
| 4 | -8 | -4 |
De juiste factoren zijn dus \(-2\) en \(16\). We krijgen dus:
Dit geeft ons de oplossingen:
We komen er op deze manier dus ook, het duurt alleen iets langer. Dus als we het kunnen vermijden dan liever wel. Maar als je de andere manier niet zag, dan kom je er zo natuurlijk ook.
Grafieken met Parabolen
We hebben gezien hoe we een kwadratische vergelijking kunnen oplossen op verschillende manieren. Heel leuk en aardig, maar waar is dat eigenlijk nuttig voor?
Het is vooral handig om snijpunten te berekenen. Bijvoorbeeld snijpunten met de \(x\)-as of snijpunten van twee grafieken met elkaar. Laten we eerst kijken naar snijpunten met de \(x\)-as.
Snijpunten met de x-as
We gaan kijken naar drie verschillende gevallen. Als eerste kijken we naar een functie die \(2\) snijpunten heeft met de \(x\)-as. Daarna kijken we naar een functie met maar \(1\) snijpunt met de \(x\)-as (dus waar \(f(x)\) de \(x\)-as raakt). En als laatst kijken we naar een functie die de \(x\)-as niet snijdt, en dus \(0\) snijpunten heeft.
Twee snijpunten
Laten we beginnen met een functie die \(2\) snijpunten heeft. We zien hieronder de functie \(f(x) = x^2 - 1\) en de \(2\) snijpunten met de \(x\)-as.
Als we geen grafiek gekregen hadden, hoe zouden we de snijpunten bepalen? Dit doen we door een vergelijking op te stellen.
Als iets de \(x\)-as snijdt, betekent dit altijd dat er moet gelden dat \(y=0\), want per definitie heeft de hele \(x\)-as een \(y\)-coördinaat van \(0\). En omdat we willen weten wat de \(x\)-coördinaten zijn van de functie waar \(y=0\) (dus waar het met de \(x\)-as snijdt), moeten we stellen dat:
Als we \(f(x)\) nu invullen, krijgen we de volgende vergelijking:
En dit kunnen we oplossen door te herkenen dat dit de vorm van \(x^2 = c\) is. Als we dit oplossen vinden we:
en dit is ook wat we kunnen aflezen in Figuur 1.
De coördinaten van de snijpunten zijn dus:
Eén snijpunt
Laten we nu kijken naar een situatie waar we een functie hebben die maar \(1\) snijpunt/raakpunt heeft met de \(x\)-as. Bij een kwadratische functie is er bij \(1\) snijpunt met de \(x\)-as altijd sprake van raken. De grafiek van \(f(x)\) raakt de grafiek, maar snijdt de \(x\)-as eigenlijk niet. Toch noemen we het nog steeds vaak een snijpunt.
Laten we kijken naar de grafiek van \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).
Laten we het snijpunt gaan berekenen. We stellen weer \(f(x)\) gelijk aan \(0\):
We proberen dit eerst op te lossen met ontbinden in factoren.
We maken een tabel met alle factoren die keer elkaar \(+4\) zijn:
| Factor 1 | Factor 2 | Product |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 4 |
| -1 | -4 | 4 |
| 2 | 2 | 4 |
| -2 | -2 | 4 |
We maken nu de bijbehorende som tabel om te kijken welke factoren samen \(-4\) zijn:
| Factor 1 | Factor 2 | Som |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 5 |
| -1 | -4 | -5 |
| 2 | 2 | 4 |
| -2 | -2 | -4 |
De juiste factoren zijn dus twee keer \(-2\). We kunnen de vergelijking dus schrijven op de volgende manier:
Dit geeft in dit geval dus ook maar \(1\) oplossing, want er moet hier dus gelden dat:
We kunnen aan beide kanten \(+2\) doen om te vinden:
En dit is ook precies wat we af kunnen lezen in Figuur 2.
De coördinaat van het snijpunt is dus:
Geen snijpunten
Als laatst kijken we naar de situatie waar er helemaal geen snijpunten zijn met de \(x\)-as.
Dit gebeurt bijvoorbeeld bij de functie \(f(x) = x^2 + 1\), zoals we kunnen zien in Figuur 3.
Maar wat gebeurt er als we toch proberen te kijken waar \(f(x)\) de \(x\)-as snijdt? Laten we het proberen:
We doen nu aan beide kanten \(-1\):
Maar zoals we eerder hebben gezien bij deze opmerking, kan een getal in het kwadraat nooit negatief zijn. Deze vergelijking heeft dus geen oplossing. En dit is ook precies wat we verwachten als we naar Figuur 3 kijken.
Er is gewoon geen enkel moment dat de grafiek van \(f(x)\) de \(x\)-as snijdt, omdat \(f(x)\) altijd boven de \(x\)-as is. En daarom heeft de vergelijking om de snijpunten met de \(x\)-as te vinden dus ook geen oplossing.
Snijpunten met andere grafieken
Laten we nu kijken naar de snijpunten van twee functies. Stel we hebben bijvoorbeeld de twee functies \(f(x) = x^2 -6x - 1\) en \(g(x) = -x^2 + 2x + 3\) en we willen de snijpunten bepalen tussen de twee functies.
Nu wordt het lastig om een precieze waarde voor de snijpunten af te lezen uit de grafiek. We moeten dus een vergelijking gaan opstellen om de twee snijpunten te bepalen. Bij een snijpunt hebben de twee grafiek dezelfde \(x\) en \(y\)-coördinaten. Dus de vraag is: bij welke \(x\)-coördinaten hebben de twee grafieken ook dezelfde waarde \(y\)-coördinaten? Daar hoort de volgende vergelijking bij:
Nu vullen we beide functies in:
Als we dit oplossen, dan weten we de \(x\)-coördinaten van de snijpunten. We doen dit door eerst alle termen naar de linker kant te halen. Om dit te doen, doen we aan beide kanten \(+x^2\), \(-2x\) en \(-3\):
We kunnen nu alles delen door \(2\) om te kijken of we het kunnen ontbinden in factoren:
We kunnen dit proberen te ontbinden, maar we zien al snel dat dit niet zo makkelijk gaat.
| Factor 1 | Factor 2 | Product |
|---|---|---|
| -1 | 4 | -4 |
| 1 | -4 | -4 |
| -2 | 2 | -4 |
| 2 | -2 | -4 |
| Factor 1 | Factor 2 | Som |
|---|---|---|
| -1 | 4 | 3  |
| 1 | -4 | -3 |
| 2 | -2 | 0 |
| -2 | 2 | 0 |
In dat geval gebruiken we dus de abc formule. We hebben:
De discriminant wordt:
Als we dit invullen vinden we:
Dit uitwerken geeft:
Dit zijn dus de \(x\)-coördinaten van onze twee snijpunten. Het linker snijpunt is dus \(x = 2 - \sqrt{6}\) en het rechter snijpunt is dus \(x = 2 + \sqrt{6}\).
Nu willen we de \(y\)-coördinaten weten van onze snijpunten. En dit kunnen we bepalen door onze \(x\)-coördinaten in een van de twee vergelijkingen te stoppen. Het maakt daarbij niet uit welke je kiest. In dit geval kiezen we er voor om het in te vullen bij \(f(x)\):
Voor \(x = 2 - \sqrt{6}\):
Voor \(x = 2 + \sqrt{6}\):
Onze snijpunten zijn dus:
Als we deze waardes afronden op twee decimalen, dan krijgen we:
en als we kijken naar Figuur 4, dan kunnen we zien dat dit klopt.