Ongelijkheden
Lineaire ongelijkheden
Wat zijn ongelijkheden? Een ongelijkheid is een vergelijking waar iets groter of kleiner is dan iets anders. Dus bijvoorbeeld:
Hier staat dat \(3\) groter is dan \(2\). In dit geval klopt deze ongelijkheid, want \(3\) is inderdaad groter dan \(2\). Voor een ongelijkheid hebben we 4 soorten symbolen:
Belangrijk
Ongelijkheidstekens
Lineaire ongelijkheden oplossen
We kunnen ook vergelijkingen opstellen met ongelijkheden. Het oplossen van zo een vergelijking is vrijwel hetzelfde als met een '\(=\)' teken (zie Vergelijkingen omschrijven om te kijken hoe dat moet). Kijk maar bijvoorbeeld deze ongelijkheid:
We kunnen nu aan beide kanten delen door \(2\) om te vinden dat:
En dit is precies hetzelfde als dat we deden met de vergelijking \(2x = 4\) (zie Vergelijkingen omschrijven). Dit betekent dus dat als er geldt dat \(2x\) kleiner is dan \(4\), dat er dan ook moet gelden dat \(x\) een getal is kleiner dan \(2\).
We kunnen bij ongelijkheden ook aan beide kanten optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen, net zoals bij een vergelijking met een '\(=\)'-teken. Stel we hebben bijvoorbeeld:
Deze vergelijking klopt, want \(5\) is inderdaad groter of gelijk aan \(3\) (namelijk groter). Als we beide kanten keer \(3\) doen klopt de vergelijking nog steeds:
want \(15\) is inderdaad groter of gelijk aan \(9\), dus dit klopt. Doen we bij aan beide kanten \(-1\), dan krijgen we:
en dit klopt ook nog steeds. Maar er is een belangrijk verschil tussen een vergelijking met een '\(=\)' teken en met een ongelijkheid.
Want wat gebeurt er als we beide kanten vermenigvuldigen met een negatief getal? Stel we doen bijvoorbeeld beide kanten keer \(-1\):
Nu klopt de vergelijking niet meer! Want \(-14\) is kleiner dan \(-8\), niet groter of gelijk aan \(-8\). Hier moeten we dus van maken:
We moeten dus het ongelijkheidsteken wisselen als we de vergelijking willen laten kloppen. En dit doen we dus als we vermenigvuldigen met een negatief getal. Maar ook als we de volgorde omdraaien van een vergelijking. Dus als we hebben dat:
en we willen de volgorde omdraaien, dan krijgen we dat:
Het ongelijkheidsteken wisselt dus ook mee.
Belangrijk
Ongelijkheidsteken wisselen
Het ongelijkheidsteken wisselt in de volgende twee gevallen:
-
Vermenigvuldiging aan beide kanten met een negatief getal
-
Volgorde van vergelijking draait om. \(\quad \quad \Longrightarrow \quad 2 < x \iff x > 2\)
Het wisselen van het ongelijkheidsteken houdt in:
Voorbeelden
Voorbeeld 1: \(3x + 2 > 8\)
Los op: \(3x + 2 > 8\) Uitwerking
Om deze vergelijking op te lossen, doen we aan beide kanten \(-2\) om alleen de \(3x\) term links over te houden:
Nu delen we aan beide kanten door \(3\) om ons eindantwoord te vinden:
Voorbeeld 2: \(-8x - 7 \leq 33\)
Los op: \(-8x - 7 \leq 33\) Uitwerking
We lossen dit op door eerst aan beide kanten \(+7\) te doen om links alleen de \(-8x\) term over te houden:
Nu delen we aan beide kanten met \(-8\). Dit is een negatief getal, dus moeten we het '\(\leq\)' teken veranderen naar een '\(\geq\)' teken (zie Ongelijkheidsteken wisselen). We vinden dan als eindantwoord:
Voorbeeld 3: \(x - 4 \geq 2x + 9\)
Los op: \(x - 4 \geq 2x + 9\) Uitwerking
We lossen dit op door eerst alle termen met \(x\) naar links te halen en alle getallen rechts. We doen eerst aan beide kanten \(+4\):
Nu doen we aan beide kanten \(-2x\):
We doen nu aan beide kanten keer \(-1\). Dit is een negatief getal, dus we wisselen het ongelijkheidsteken:
Opmerking
We hadden ook alle \(x\) termen rechts kunnen halen en alle getalen links kunnen doen. Laten we kijken wat er dan gebeurt:
We doen eerst aan beide kanten \(-9\):
En nu doen we aan beide kanten \(-x\):
We willen een oplossing altijd schrijven als iets met \(x = ...\), dus met \(x\) aan de linkerkant. We moeten dus de volgorde omdraaien. Als we dit doen, dan wisselt het ongelijkheidsteken ook:
Oplossen met een schets
We kunnen lineaire ongelijkheden ook oplossen met een schets. We kijken dan vanaf waar de ene lijn groter of kleiner wordt dan de andere lijn.
Stel we hebben de volgende vergelijking:
Laten we \(x - 1\) nu \(f(x)\) noemen en \(-x+2\) noemen we \(g(x)\). Met andere woorden:
De vergelijking wordt dus:
Laten we deze twee functies plotten om te kijken hoe dit eruit ziet.
Laten we eerst het snijpunt bepalen van \(f(x)\) en \(g(x)\). We stellen dus de twee vergelijkingen gelijk aan elkaar.
Als we dit oplossen, vinden we:
en dit is ook wat we op de grafiek kunnen aflezen. We wilden weten voor welke waardes van \(x\) er geldt dat:
Als \(f(x)\) groter is dan \(g(x)\), dan ligt de lijn van \(f(x)\) boven die van \(g(x)\).
In Figuur 1 zien we dat \(f(x)\) boven \(g(x)\) ligt rechts van het snijpunt: \(x = 1 \frac{1}{2}\). De \(x\)-waardes rechts van het snijpunt zijn allemaal groter dan \(x = 1 \frac{1}{2}\). Dus \(f(x)\) is groter dan \(g(x)\) als \(x\) groter is dan \(1 \frac{1}{2}\). Als we dit wiskundig opschrijven, dan wordt ons eindantwoord:
Met deze methode hoef je dus alleen de vergelijking op te lossen met een '\(=\)'-teken om het snijpunt te vinden. Daarna kun je met de schets bepalen of het groter of kleiner dan het snijpunt moet zijn.
Belangrijk
Ongelijkheden Oplossen met een Schets
Stappenplan
- Noem de linkerkant van de vergelijking \(f(x)\) en de rechterkant \(g(x)\).
- Vervang het ongelijkheidsteken met een '\(=\)'-teken
- Bepaal het snijpunt (\(x_s\)) door \(f(x) = g(x)\) op te lossen.
- Maak een schets van de twee lijnen.
- Waar is \(f(x)\) boven/onder \(g(x)\)? Is dat links of rechts van het snijpunt?
- Rechts van het snijpunt: \(x\) is groter dan het \(x\)-coördinaat van het snijpunt: \(x > x_s\).
- Links van het snijpunt: \(x\) is kleiner dan het \(x\)-coördinaat van het snijpunt: \(x < x_s\).
Hieronder worden dezelfde voorbeelden opgelost als hierboven, maar nu met een schets.
Voorbeelden (met schets oplossen)
Voorbeeld 1 (met grafiek): \(3x + 2 > 8\)
Los op: \(3x + 2 > 8\) Uitwerking
Eerst noemen we de linkerkant van de vergelijking \(f(x)\) en de rechterkant \(g(x)\):
De vergelijking is dus:
Nu willen we het snijpunt bepalen door te stellen dat \(f(x) = g(x)\):
Als we dit oplossen, dan vinden we:
Nu maken we een schets van de twee functies.
Om de vraag te beantwoorden, willen we willen weten waar er geldt dat \(f(x) > g(x)\). Hiervoor moeten we kijken waar de lijn van \(f(x)\) boven die van \(g(x)\) is. In Figuur 1 kunnen we zien dat dit rechts van het snijpunt is, dus als \(x\) groter is dan \(2\). Ons eindantwoord wordt dus:
Voorbeeld 2 (met grafiek): \(-8x - 7 \leq 33\)
Los op: \(-8x - 7 \leq 33\) Uitwerking
We noemen de linkerkant van de vergelijking weer \(f(x)\) en de rechterkant \(g(x)\):
De vergelijking is dus:
We bepalen eerst weer het snijpunt van \(f(x)\) en \(g(x)\). We moeten dus stellen dat \(f(x)=g(x)\):
Als we dit oplossen, vinden we:
We plotten weer deze twee functies en hun snijpunt.
We wilden weten voor welke waardes van \(x\) er geldt dat \(f(x) \leq g(x).\) Dus wanneer is \(f(x)\) onder \(g(x)\), of liggen \(f(x)\) en \(g(x)\) op hetzelfde punt? In Figuur 2 zien we dat dit geldt voor \(x = -5\) en alle \(x\) waardes rechts van \(x = -5\). Onze oplossing wordt dus:
Voorbeeld 3 (met grafiek): \(x - 4 \geq 2x + 9\)
Los op: \(x - 4 \geq 2x + 9\) Uitwerking
Als eerst noemen we de linkerkant \(f(x)\) en de rechterkant \(g(x)\):
De vergelijking is dus:
We willen nu weer het snijpunt bepalen, dus stellen we \(f(x)=g(x)\):
Als we dit oplossen, vinden we dat het snijpunt is:
We plotten nu de twee lijnen en hun snijpunt.
We wilden weten waar \(f(x) \geq g(x)\). In Figuur 3 zien we dat \(f(x)\) boven \(g(x)\) ligt links van het snijpunt: \(x = -13\). Verder zijn de twee functies gelijk aan elkaar bij het snijpunt zelf, dus als \(x = -13\). Er geldt dus dat \(f(x) \geq g(x)\) als \(x\) kleiner is dan \(-13\) of als \(x = -13\). Ons eindantwoord wordt dus:
Kwadratische ongelijkheden
Voor kwadratische vergelijkingen kunnen we ook een ongelijkheid opstellen. Laten we kijken naar het volgende voorbeeld:
Als hier een '\(=\)' teken had gestaan, hadden we het op deze manier kunnen oplossen:
(zie eventueel Ontbinden in Factoren voor een toelichting).
Maar let op!
We kunnen dit niet zomaar doen bij \((x - 1)(x - 2) > 0.\) Want het enige dat dit ons vertelt is dat \(x - 1\) en \(x - 2\) óf beide positief moeten zijn óf beide negatief. Maar meer dan dat kunnen we hiermee niet zeggen.
Daarom is het handig om kwadratische ongelijkheden op te lossen met een schets. De methode is eigenlijk vrijwel hetzelfde als bij de lineaire ongelijkheden.
We noemen de linkerkant van de vergelijking \(f(x)\) en de rechterkant \(g(x)\):
In dit geval is \(g(x)\) dus gewoon de \(x\)-as. Onze originele vergelijking is dus:
Om de snijpunten te bepalen moeten we stellen dat \(f(x) = g(x)\):
We hebben eerder gezien dat de oplossingen zijn:
Laten we nu de twee functies plotten.
Nu moeten we bepalen voor welke \(x\) er geldt dat \(f(x) > g(x)\). Met andere woorden, bij welke \(x\) waardes ligt de grafiek van \(f(x)\) boven die van \(g(x)\)?
We zien in Figuur 1 dat dit geldt voor alle \(x\)-waardes links van \(x = 1\) en alle \(x\)-waardes rechts van \(x = 2\). Dus er geldt dat \(f(x) > g(x)\) als \(x\) kleiner is dan \(1\), of als \(x\) groter is dan \(2\). Wiskundig noteren we dit als volgt:
Laten we nu naar een ander voorbeeld kijken. Stel we hebben de volgende vergelijking:
We beginnen weer met de linkerkant \(f(x)\) te noemen, en de rechterkant \(g(x)\):
De originele vergelijking wordt dus:
We willen als eerst de snijpunten bepalen van deze twee functies. We moeten dus stellen dat \(f(x) = g(x)\):
Als we dit oplossen, vinden we:
(zie eventueel dit voorbeeld voor de uitwerking).
Laten we nu deze twee functies plotten.
De vraag was voor welke \(x\) er geldt dat \(f(x) < g(x)\). Dus voor welke waardes van \(x\) ligt de grafiek van \(f(x)\) onder die van \(g(x)\)? We kunnen in Figuur 2 zien dat dit het gebied is waar \(x\) tussen \(-1\) en \(1\) ligt. Dit noteren we wiskundig op de volgende manier:
Hier staat dus eigenlijk dat \(-1\) kleiner is dan \(x\) (dus dat \(x\) groter is dan \(-1\)), maar dat \(x\) weer kleiner is dan \(1\).
Belangrijk
Kwadratische ongelijkheden oplossen
Stappenplan
- Noem de linkerkant van de vergelijking \(f(x)\) en de rechterkant \(g(x)\).
-
Vervang het ongelijkheidsteken door een '\(=\)' teken. Dus los op: \(f(x) = g(x)\).
\(\quad\) Stel onze oplossingen zijn bijvoorbeeld: \(x = a \vee x = b\)
-
Maak een schets van de twee functies.
-
Bepaal uit deze schets het gebied waar de vergelijking klopt.
-
\(f(x) > g(x)\): Voor welke \(x\)-waardes ligt \(f(x)\) boven \(g(x)\)?
-
\(f(x) < g(x)\): Voor welke \(x\)-waardes ligt \(f(x)\) onder \(g(x)\)?
-
-
Noteer dit wiskundig:
-
Liggen de \(x\)-waardes tussen \(a\) en \(b\)? \(\phantom{.} \Longrightarrow \phantom{.}\) \(a < x < b\).
-
Liggen de \(x\)-waardes overal behalve tussen \(a\) en \(b\)? \(\phantom{.} \Longrightarrow \phantom{.}\) \(x < a \ \vee \ x > b\).
-
Voorbeelden
Voorbeeld 1: \(x^2 + 10x + 4 < 15\)
Los op: \(x^2 + 10x + 4 < 15\) Uitwerking
Als eerst noemen we de linkerkant van de vergelijking \(f(x)\) en de rechterkant \(g(x)\):
De vergelijking is dus:
We bepalen eerst de snijpunten van de twee functies door te stellen dat \(f(x) = g(x)\)
We kunnen hier aan beide kanten \(-15\) doen:
Nu kunnen we dit oplossen met behulp van ontbinden in factoren. We vinden dan dat we de vergelijking ook kunnen schrijven als:
Dit kan alleen gelden als een van de twee factoren \(0\) is:
Onze snijpunten zijn dus:
Nu schetsen we de twee grafieken.
We wilden weten voor welke \(x\)-waardes er geldt dat \(f(x) < g(x)\). Dus waar ligt de grafiek van \(f(x)\) onder die van \(g(x)\)? In Figuur 1 zien we dat dit de \(x\)-waardes tussen \(-11\) en \(1\) zijn. Dit noteren we wiskundig als volgt:
Voorbeeld 2: \(x^2 + 25 \geq 16\)
Los op: \(x^2 + 25 \geq 16\) Uitwerking
We beginnen weer met de linkerkant \(f(x)\) te noemen, en de rechterkant \(g(x)\):
De vergelijking is dus:
Nu bepalen we de snijpunten van de twee functies door te stellen dat \(f(x) = g(x)\):
We doen aan beide kanten \(-25\):
Iets in het kwadraat is nooit negatief, dus deze vergelijking heeft geen oplossingen (zie eventueel Opmerking negatief getal). Met andere woorden, de twee functies snijden elkaar niet. Laten we de twee functies schetsen om dit te controleren.
We zien inderdaad dat deze twee functies elkaar nooit snijden.
We wilden weten wanneer er geldt dat \(f(x) \geq g(x)\). Dus wanneer is de grafiek van \(f(x)\) boven die van \(g(x)\)? In Figuur 2 kunnen we zien dat \(f(x)\) altijd boven \(g(x)\) ligt. Ons eindantwoord wordt dus:
Voorbeeld 3: \(-x^2 + 9x - 12 \geq x^2 - 1 \frac{7}{8}\)
Los op: \(-x^2 + 9x - 12 \geq x^2 - 1 \frac{7}{8}\) Uitwerking
We noemen de linkerkant van de vergelijking \(f(x)\) en de rechterkant \(g(x)\):
De vergelijking is dan dus:
We willen als eerst de snijpunten bepalen van deze twee functies. We stellen dat:
We halen alle termen naar de linkerkant door beide kanten \(-x^2\) en \(+ 1 \frac{7}{8}\) te doen:
Er zit een breuk in deze vergelijking, dus we gebruiken meteen de abc formule. We hebben:
De discriminant wordt dan:
We vullen dit nu in:
Er is dus maar \(1\) oplossing voor deze vergelijking. Dit hadden we al kunnen zien aan komen, want onze discriminant is \(0\).
Laten we de twee grafieken schetsen.
We willen weten voor welke \(x\)-waardes er geldt dat \(f(x) \geq g(x)\). Dus wanneer ligt de grafiek van \(f(x)\) boven die van \(g(x)\) of snijden ze elkaar?
In Figuur 3 zien we dat \(f(x)\) bijna altijd onder \(g(x)\) ligt, behalve bij het snijpunt. Dus \(f(x)\) is nooit kleiner dan \(g(x)\), en alleen gelijk aan \(g(x)\) bij het snijpunt. Ons eindantwoord wordt dus: