Percentages

We zijn allemaal wel een keer percentages tegengekomen. Bijvoorbeeld als je $80 \%$ van €$10$ moet betalen, dan hoef je maar €$8$ te betalen. Heb je $50 \%$ korting? Dan hoef je alleen maar de helft te betalen, dus €$5$. Maar hoeveel moet je betalen als je $15.3 \%$ korting hebt? Deze vraag kunnen we met behulp van de theorie straks beantwoorden.

Vermenigvuldigingsfactoren

Een percentage is eigenlijk niks anders dan een een bepaald deel van een getal. $50 \%$ is bijvoorbeeld de helft. Dit kunnen we ook als een vermenigvuldigingsfactor schrijven.

Stel we hebben bijvoorbeeld $50 \%$ van €$20$. Dit is de helft van €$20$ en dus €$10$. Dit kunnen we als volgt opschrijven:

\[50\% \textrm{ van } \large{\textrm{€}} \normalsize 20 = \frac{1}{2} \times \large{\textrm{€}} \normalsize 20 = \large{\textrm{€}} \normalsize 10.\]

De $50 \%$ komt dus overeen met een vermenigvuldigingsfactor van $\frac{1}{2}$. Want $50 \%$ van een getal is hetzelfde als $\frac{1}{2}$ keer dat getal en dus is $\frac{1}{2}$ hier de vermenigvuldigingsfactor.

Stel we willen nu weten wat $25 \%$ is van €$20$. Dit is de helft van $50 \%$ van €$20$ en dus de helft van €$10$, dus €$5$. Dit is hetzelfde als een vierde van €$20$. Er geldt dus dat:

\[25\% \textrm{ van } \large{\textrm{€}} \normalsize 20 = \frac{1}{4} \times \large{\textrm{€}} \normalsize 20 = \large{\textrm{€}} \normalsize 5.\]

De vermenigvuldigingsfactor die dus bij $25 \%$ hoort is $\frac{1}{4}$. Maar hoe maken we van elk percentage zo'n vermenigvuldigingsfactor?

Belangrijk

Om van een percentage naar een vermenigvuldigingsfactor te gaan doen we het volgende:

$100 \%$ van een getal is het getal zelf, en dus heeft het een vermenigvuldigingsfactor van $1$.
$50 \%$ van een getal is de helft van dat getal, en dus heeft het een vermenigvuldigingsfactor van $0.5$.
$25 \%$ van een getal is een kwart van dat getal, en dus heeft het een vermenigvuldigingsfactor van $0.25$.

Begin je het patroon te herkennen? Om dus van een percentage naar een vermenigvuldigingsfactor te gaan, moeten we het percentage delen door $100$. Dus:

\[\large{\textrm{Voor $50\%$: Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{50}{100} = 0.5 \textrm{ of } \frac{1}{2}}\]

\[\large{\textrm{Voor $25\%$: Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{25}{100} = 0.25 \textrm{ of } \frac{1}{4}}\]

\[\large{\textrm{Voor $15.3\%$: Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{15.3}{100} = 0.153}\]

Stel we willen nu dus bepalen wat $17.5 \%$ is van 200. We pakken dit aan door eerst het percentage om te schrijven naar een vermenigvuldigingsfactor:

\[\textrm{Voor $17.5\%$: Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{17.5}{100} = 0.175.\]

Nu moeten we de vermenigvuldigingsfactor keer ons getal doen:

\[0.175 \times 200 = 35\]

Ons eindantwoord is dus:

\[\large{\textrm{$17.5 \%$ van $200$} = 35}\]

Omkeerbaarheid van percentages

Percentages en het getal waarover je het percentage neemt zijn omkeerbaar. Dus stel we willen berekenen wat $8\%$ is van $25$. Dit is niet zo een hele makkelijke berekening. Maar we kunnen dit dus ook omkeren. Met andere woorden:

\[\large{8\% \textrm{ van } 25 = 25\% \textrm{ van } 8.}\]

Dit maakt je leven een stuk makkelijker, want de vermenigvuldigingsfactor van $25\%$ is $\frac{1}{4}$. We krijgen dus:

\[\large{25\% \textrm{ van } 8 = \frac{1}{4} \times 8 = 2}\]

Ons eindantwoord wordt dus:

\[\large{8\% \textrm{ van } 25 = 2}\]

Je kunt dit eventueel zelf controleren door het op de normale manier te berekenen.

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Bepaal $10 \%$ van $90$

Bepaal $10 \%$ van $90$

Uitwerking

We beginnen met het bepalen van de vermenigvuldigingsfactor:

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}}\]

Nu doen we de vermenigvuldigingsfactor keer $90$ om ons eindresultaat te vinden:

\[\large{10 \% \textrm{ van } 90 = \frac{1}{10} \times 90 = 9}\]

Voorbeeld 2: Bepaal $2.8 \%$ van $250$

Bepaal $2.8 \%$ van $250$

Uitwerking

We beginnen weer met het bepalen van de vermenigvuldigingsfactor:

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{2.8}{100} = 0.028}\]

Nu doen we deze vermenigvuldigingsfactor keer $250$ om te vinden:

\[\large{2.8 \% \textrm{ van } 250 = 0.028 \times 250 = 7}\]

Oplossen door omkeren

We kunnen dit ook oplossen door het percentage en het getal om te keren. Met andere woorden:

\[\large{2.8 \% \textrm{ van } 250 = 250 \% \textrm{ van } 2.8}\]

Onze vermenigvuldigingsfactor wordt dan:

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{250}{100} = 2.5}\]

Als we dit nu uitrekenen, vinden we:

\[\large{250 \% \textrm{ van } 2.8 = 2.5 \times 2.8 = 7}\]

En ons eindantwoord wordt dus:

\[\large{2.8 \% \textrm{ van } 250 = 7}\]

Voorbeeld 3: Bepaal $43.9\%$ van $1279.2$

Bepaal $43.9 \%$ van $1279.2$

Uitwerking

We beginnen met het bepalen van de vermenigvuldigingsfactor.

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{43.9}{100} = 0.439}\]

Nu doen we deze vermenigvuldigingsfactor keer $1279.2$ om ons eindantwoord te vinden:

\[\large{43.9 \% \textrm{ van } 1279.2 = 0.439 \times 1279.2 = 561.5688}\]

Kortingen

Als je korting krijgt, dan hoef je alleen maar een deel van de volledige prijs te betalen. Maar hoe groot is dat deel?

Belangrijk

Als je korting krijgt, dan geldt het volgende: Het percentage dat je moet betalen is $100 \%$ min het kortingspercentage. De nieuwe prijs is dan het percentage dat je moet betalen van de oude prijs.

Voorbeeld: $25 \%$ korting op een product van €$100$.

Uitwerking

We bepalen eerst het percentage dat we moeten betalen. We krijgen $25\%$ korting en dus is het percentage dat we moeten betalen:

\[\large{100\% - 25\% = 75\%}\]

We moeten dus $75\%$ bepalen van onze €$100$. Dit kunnen we berekenen met een vermenigvuldigingsfactor:

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{75}{100} = 0.75}\]

Onze nieuwe prijs wordt dus:

\[\large{0.75 \times \Large{\textrm{€}} \large 100 = \Large{\textrm{€}} \large 75}\]

Alternatieve methode

We kunnen ook eerst het kortingspercentage omrekenen naar een bedrag. Dit is dan dus hoeveel euro je korting krijgt, en dus niet hoeft te betalen. Om dan de nieuwe prijs te bepalen doen we de oude prijs min het kortingsbedrag (dat je dus niet hoeft te betalen).

Voorbeeld: $25 \%$ korting op een product van €$100$.

Uitwerking

We bepalen eerst $25%$ van €$100$ door $25%$ als een vermenigvuldigingsfactor te schrijven:

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{25}{100} = 0.25}\]

Het bedrag korting is dus:

\[\large{0.25 \times \Large{\textrm{€}} \large 100 = \Large{\textrm{€}} \large 25}\]

Het bedrag dat we moeten betalen wordt dan:

\[\large{\textrm{Nieuwe prijs} = \Large{\textrm{€}} \large 100 - \Large{\textrm{€}} \large 25 = \Large{\textrm{€}} \large 75}\]

Nu kunnen we de vraag beantwoorden die we helemaal op het begin hadden gesteld. Hoeveel moet je betalen als je $15.3\%$ korting krijgt op iets dat €$10$ kost?

We bepalen eerst het percentage van de prijs dat we moeten betalen. Dit is $100 \%$ min onze korting, en dus:

\[100\% - 15.3 \% = 84.7 \%\]

Onze vraag is dus eigenlijk: wat is $84.7\%$ van €$10$? Dit kunnen we berekenen met behulp van een vermenigvuldigingsfactor.

\[\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{84.7}{100} = 0.847\]

Onze nieuwe prijs wordt dus:

\[\large{0.847 \times \Large{\textrm{€}} \large 10 = \Large{\textrm{€}} \large 8.47}\]

Opmerking afronden

Bedragen ronden we af op $2$ decimalen, percentages op $1$ decimaal.

\[\large{0.1 \times \Large{\textrm{€}} \large 127.75 \approx \Large{\textrm{€}} \large 12.78}\]
\[\large{0.1 \times 53.4\% \approx 5.3\%}\]

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Bereken de nieuwe prijs: $75 \%$ korting op €$200$

Bereken de nieuwe prijs: $75 \%$ korting op een product van €$200$

Uitwerking

We beginnen eerst met het berekenen van het percentage dat we nu moeten betalen na de korting. We doen dus 100% min het kortingspercentage:

\[\large{100 \% - 75\% = 25 \%}\]

De nieuwe prijs is dus $25\%$ van de oude prijs. We bepalen deze $25\%$ door er een vermenigvuldigingsfactor van te maken:

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{25}{100} = 0.25}\]

Om de nieuwe prijs te vinden doen we dit keer onze oude prijs:

\[\large{\textrm{Nieuwe prijs} = 0.25 \times \Large{\textrm{€}} \large 200 = \Large{\textrm{€}} \large 50}\]

Voorbeeld 2: Bereken de nieuwe prijs: $12\%$ korting op €$19.50$

Bereken de nieuwe prijs: $12\%$ korting op een product van €$19.50$

Uitwerking

We beginnen met het percentage bepalen dat we moeten betalen:

\[\large{100\% - 12\% = 88\%}\]

Nu bepalen we wat het nieuwe bedrag is, met behulp van een vermenigvuldigingsfactor:

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{88}{100} = 0.88}\]

De nieuwe prijs wordt dan:

\[\large{\textrm{Nieuwe prijs} = 0.88 \times \Large{\textrm{€}} \large 19.50 = \Large{\textrm{€}} \large 17.16}\]

Voorbeeld 3: Bereken de nieuwe prijs: $43.8\%$ korting op €$1992.50$

Bereken de nieuwe prijs: $43.8\%$ korting op een product van €$1992.50$

Uitwerking

We beginnen met het percentage bepalen dat we moeten betalen:

\[\large{100\% - 43.8\% = 56.2\%}\]

Nu bepalen we wat het nieuwe bedrag is met behulp van een vermenigvuldigingsfactor:

\[\large{\textrm{Vermenigvuldigingsfactor} = \frac{56.2}{100} = 0.562}\]

De nieuwe prijs wordt dan:

\[\large{\textrm{Nieuwe prijs} = 0.562 \times \Large{\textrm{€}} \large 1992.50 \approx \Large{\textrm{€}} \large 1119.79}\]

We ronden hier af op twee decimalen omdat het een bedrag is.

Percentages bepalen

We hebben net gezien hoe we een bepaald percentage van een getal of bedrag kunnen berekenen. Nu gaan we het omgekeerde bekijken. We willen weten wat het percentage is van een bedrag ten opzichte van een ander bedrag. Stel we moesten bijvoorbeeld maar €5 betalen van iets dat €10 kost. Wat is dan het percentage dat we hebben betaald van het originele bedrag (€10)?

Belangrijk

Een bepaald percentage van een getal ten opzichte van een ander getal berekenen we als volgt:

\[\large{\textrm{Percentage} = \frac{\textrm{Deel}}{\textrm{Geheel}} \times 100\%}\]

Dus als we willen weten wat €5 is van €10, moeten we het als volgt berekenen:

\[\textrm{Percentage} = \frac{\large{\textrm€} \normalsize 5}{\large{\textrm€} \normalsize 10} \times 100\% \]

\[\textrm{Percentage} = 0.5 \times 100\% = 50\%\]

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Bepaal het percentage: €$20$ van €$1000$

Bepaal het percentage: €$20$ van €$1000$

Uitwerking

We willen hier weten wat het "deel" is en wat het "geheel" is. In dit geval is het deel de $20$ en het geheel de $1000$. Het enige wat we nu hoeven te doen is de formule invullen:

\[\large{\textrm{Percentage} = \frac{\Large{\textrm€} \large 20}{\Large{\textrm€} \large 1000} \times 100\% }\]

\[\large{\textrm{Percentage} = 2\%}\]

Voorbeeld 2: Bepaal het percentage: $32$ cent van €$12.79$

Bepaal het percentage: $32$ cent van €$12.79$

Uitwerking

We willen weer weten wat het "deel" is en wat het "geheel" is. Hier is $32$ cent het deel en $12.79$ het geheel.

We kunnen $32$ cent ook schrijven als €$0.32$. We moeten namelijk óf twee getallen in euro's door elkaar delen, óf twee getallen in centen door elkaar delen, maar gemixt kan niet. Nu kunnen we gewoon de formule invullen:

\[\large{\textrm{Percentage} = \frac{\Large{\textrm€} \large 0.32}{\Large{\textrm€} \large 12.79} \times 100\% }\]

\[\large{\textrm{Percentage} \approx 2.5\%}\]

Voorbeeld 3: Bepaal het percentage: €$563$ van €$489$

Bepaal het percentage: €$563$ van €$489$

Uitwerking

We moeten hier weer bepalen wat het "deel" is, en wat het "geheel" is. Ookal is hier de €$563$ groter dan de €$489$, is hier nog steeds de €$563$ het deel en €$489$ het geheel. Nu vullen we dus gewoon de formule als volgt in:

\[\large{\textrm{Percentage} = \frac{\Large{\textrm€} \large 563}{\Large{\textrm€} \large 489} \times 100\% }\]

\[\large{\textrm{Percentage} \approx 115.1\%}\]

Procentuele toename/afname bepalen

We hebben net gekeken naar het percentage van een getal ten opzichte van een ander getal. Nu kijken we naar wat de toename/afname is van een nieuwe prijs ten opzichte van de oude. Dus stel we hadden eerst een product voor €$10$, maar nu is de prijs verhoogt naar €$15$. Wat is de procentuele toename van de prijs?

Belangrijk

Om een procentuele toename/afname te bepalen kunnen we de volgende formule gebruiken:

\[\large{\frac{\textrm{Nieuw} - \textrm{Oud}}{\textrm{Oud}} \times 100\%}\]

"Nieuw" is dus de nieuwe prijs en "oud" is de oude prijs. De uitkomst kan zowel positief als negatief zijn.

Een positief antwoord is een procentuele toename.
Een negatief antwoord is een procentuele afname.

Stel we hebben bijvoorbeeld eerst een product voor €$10$, maar die duurder is geworden en nu €$15$ is. Hoe berekenen we dan de procentuele toename? We kunnen dit als volgt doen:

De €$15$ is de nieuwe prijs en dus "nieuw" en €$10$ is de oude prijs en dus "oud":

\[\frac{\large{\textrm€} \normalsize 15 - \large{\textrm€} \normalsize 10}{\large{\textrm€} \normalsize 10} * 100\% = 50\%\]

Het percentage is positief en dus is er een procentuele toename. Ons eindantwoord wordt dus:

\[\large{\textrm{Procentuele toename van $50\%$}}\]

Voorbeelden

Voorbeeld 1: Bepaal de procentuele toename/afname: van €$100$ naar €$80$

Bepaal de procentuele toename/afname: van €$100$ naar €$80$

Uitwerking

We hebben hier een oude prijs van €$100$ en die is verlaagt naar een nieuwe prijs van €$80$. "Oud" is dus €$100$ en "nieuw" is €$80$. Dit vullen we in:

\[\large{\frac{\Large{\textrm€} \large 80 - \Large{\textrm€} \large 100}{\Large{\textrm€} \large 100} \times 100\% = -20\%}\]

Het percentage is negatief, en dit betekent dus dat er een procentuele afname is. In dit geval is dit dus een procentuele afname van $20\%$.

\[\large{\textrm{Procentuele afname van $20\%$}}\]

Voorbeeld 2: Bepaal de procentuele toename/afname: van €$53.50$ naar €$57$

Bepaal de procentuele toename/afname: van €$53.50$ naar €$57$

Uitwerking

De oude prijs is hier €$53.50$ en de nieuwe prijs wordt €$57$. Als we dit invullen vinden we:

\[\large{\frac{\Large{\textrm€} \large 57 - \Large{\textrm€} \large 53.50}{\Large{\textrm€} \large 53.50} \times 100\% \approx 6.5\%}\]

We ronden hier af op $1$ decimaal omdat het een percentage is. Dit percentage is positief, dus er is een procentuele toename. Ons eindantwoord wordt dan:

\[\large{\textrm{Procentuele toename van $6.5\%$}}\]

Voorbeeld 3: Bepaal de procentuele toename/afname: van €$9.50$ naar €$3.95$

Bepaal de procentuele toename/afname: van €$9.50$ naar €$3.95$

Uitwerking

We hebben hier een prijs die van €$9.50$ naar €$3.95$ gaat. Onze oude prijs is dus €$9.50$ en de nieuwe prijs wordt €$3.95$. Dit kunnen we invullen:

\[\large{\frac{\Large{\textrm€} \large 3.95 - \Large{\textrm€} \large 9.50}{\Large{\textrm€} \large 9.50} \times 100\% \approx -58.4\%}\]

Weer ronden we af op $1$ decimaal omdat het een percentage is. Dit percentage is negatief, en dus er is sprake van een procentuele afname. Ons eindantwoord wordt dus:

\[\large{\textrm{Procentuele afname van $58.4\%$}}\]