Stelsels van Vergelijkingen
Een stelsel van vergelijkingen zijn meerdere vergelijkingen die je samen kunt oplossen. Dit is voorbeeld van zo een stelsel:
Zo een stelsel kunnen we op meerdere manieren oplossen. We gebruiken vooral de schoorsteen methode en de substitutie methode. Ons doel bij beide methodes is om een vergelijking te krijgen met maar \(1\) variabele. We kunnen die dan oplossen, en daarme achter de andere variabele komen.
De Schoorsteen methode
Ons doel met de schoorsteen methode is dus om maar \(1\) variabele over te houden. We doen dit door de vergelijkingen bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken. Vaak moeten we nog één of beide vergelijkingen vermenigvuldigen met een bepaald getal. Dit doen we zodat als we optellen of aftrekken, we maar \(1\) variabele overhouden. Vind je dit nog een beetje vaag? Het wordt waarschijnlijk wat duidelijker met dit voorbeeld:
Stel we gaan naar de supermarkt om wat appels en bananen te kopen. En we zien daar twee verschillende aanbiedingen. We hebben \(3\) appels (\(a\)) en \(3\) bananen (\(b\)) voor €\(12\) en \(1\) appel en \(4\) bananen voor €\(10\). Hoeveel kost een appel? En hoeveel kost een banaan?
Om dit te bepalen, kunnen we het volgende stelsel op stellen:
Dit kunnen we oplossen met behulp van de schoorsteen methode. We doen dan beide vergelijkingen keer een bepaald getal en dan min elkaar. Ons doel is om een vergelijking over te houden die maar \(1\) variabele heeft. Laten we bijvoorbeeld de onderste vergelijking aan beide kanten keer \(3\) doen:
Nu kunnen we de bovenste min de onderste vergelijking doen. We vinden dan:
We hebben nu dus \(a\) weggewerkt en houden een vergelijking over met alleen \(b\). Die kunnen we nu gaan oplossen. Als we dit doen, dan vinden we:
\(1\) banaan kost dus €\(2\). Nu kunnen we ook berekenen hoe duur een appel is. We vullen de prijs van een banaan in bij een van de twee vergelijkingen. Het maakt verder niet uit welke vergelijking je kiest, bij beide kom je op hetzelfde antwoord. In dit geval kiezen we de onderste vergelijking:
Appels en bananen zijn dus allebei €\(2\).
Voorbeelden
Voorbeeld 1: Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ l l } 4x + 6y = 14 \\ 8x - 3y = 3 \end{array} \right.}\)
Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ l l } 4x + 6y = 14 \\ 8x - 3y = 3 \end{array} \right.}\) Uitwerking
We beginnen met de onderste vergelijking keer \(3\) doen om de \(y\) weg te werken. We hadden er trouwens ook net zo goed voor kunnen kiezen om de \(x\) weg te werken. We tellen daarna de twee vergelijkingen bij elkaar op zodat de \(y\) wegvalt. We houden dan een vergelijking over met alleen \(x\) die we kunnen oplossen:
We kunnen nu \(y\) bepalen door deze \(x\)-waarde in een van de twee vergelijkingen te stoppen. We kiezen hier voor de bovenste:
Ons eindantwoord is dus:
Voorbeeld 2: Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ c c } p + q = 1 \\ 2p - 2q = 4 \end{array} \right.}\)
Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ c c } p + q = 1 \\ 2p - 2q = 4 \end{array} \right.}\) Uitwerking
We beginnen met de bovenste vergelijking keer \(2\) te doen. We kunnen dan beide vergelijkingen bij elkaar optellen om de \(q\) weg te werken. Als we dit doen houden we een vergelijking over met alleen \(p\) en dat kunnen we oplossen:
Nu kunnen we \(p\) invullen in een van de twee vergelijkingen om \(q\) te berekenen. Wij kiezen hier voor de bovenste:
Ons eindantwoord is dus:
Voorbeeld 3: Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ l l } 30n + 40m = 50 \\ -2n + 12m = 4 \end{array} \right.}\)
Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ l l } 30n + 40m = 50 \\ -2n + 12m = 4 \end{array} \right.}\) Uitwerking
We beginnen met de bovenste vergelijking te vermenigvuldigen met \(3\) en de onderste met \(10\). Dan doen we de bovenste min de onderste vergelijking om \(m\) weg te werken en \(n\) te berekenen:
We kunnen deze \(n\) nu invullen in een van de twee vergelijkingen en \(m\) bepalen. In dit geval kiezen wij voor de onderste vergelijking:
Ons eindantwoord is dus:
De Substitutie methode
Bij de substitutie methode substitueren we een variabele voor een andere. Dit betekent dat we een variabele vervangen voor een vergelijking met de andere variabele. Op deze manier creëren we ook een vergelijking met maar \(1\) variabele. Laten we weer naar hetzelfde voorbeeld kijken als bij de schoorsteen methode:
We schrijven in dit geval de onderste vergelijking om door aan beide kanten \(-4b\) te doen. We krijgen dan:
We vervangen nu de \(a\) in de bovenste vergelijking voor deze \(10 - 4b\). We krijgen dan:
Als we dit oplossen vinden we (zie eventueel Vergelijkingen omschrijven):
Dit kunnen we nu invullen in de vergelijking die we eerder hadden gekregen om \(a\) te bepalen:
Ons eindantwoord is dus:
En dit is ook wat we gevonden hadden bij de schoorsteen methode.
Voorbeelden
Voorbeeld 1: Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ c l } -8x - 22y = 56 \\ x + 4y = 12 \end{array} \right.}\)
Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ c c } -8x - 22y = 56 \\ x + 4y = 12 \end{array} \right.}\) Uitwerking
We beginnen met een van de twee vergelijkingen omschrijven en \(1\) variabele vrijmaken. We kiezen er hier voor om de onderste vergelijking om te schrijven en \(x\) vrij te maken:
Nu substitueren we dit in de eerste vergelijking:
We lossen dit vervolgens op om \(y\) te bepalen:
Nu vullen we deze \(y\) in de vergelijking die we eerder hadden gevonden om \(x\) te bepalen:
Ons eindantwoord is dus:
Voorbeeld 2: Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ c c } -2x + 4y = -4 \\ x - y = 64 \end{array} \right.}\)
Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ c c } -2x + 4y = -4 \\ x - y = 64 \end{array} \right.}\) Uitwerking
We beginnen met de onderste vergelijking omschrijven om \(x\) vrij te maken. We krijgen dan:
Dit substitueren we in de bovenste vergelijking:
Nu vullen we dit in de vergelijking die we voor \(x\) hebben gevonden:
Ons eindantwoord is dus:
Voorbeeld 3: Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ c c } 2.5x + 7.5y = -9 \\ 4x - 8y = 24 \end{array} \right.}\)
Los dit stelsel van vergelijkingen op: \(\large{\left\{ \begin{array}{ c c } 2.5x + 7.5y = -9 \\ 4x - 8y = 24 \end{array} \right.}\) Uitwerking
We beginnen weer met het omschrijven van een vergelijking om \(1\) variabele vrij te maken. We kiezen er hier voor om in de onderste vergelijking \(x\) vrij te maken:
Dit substitueren we vervolgens in de bovenste vergelijking:
We vullen dit nu in de vergelijking die we voor \(x\) hebben gevonden:
Ons eindantwoord is dus: